Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Transformările geometrice ale planului (p) sunt funcţii

f:(F) - > (p), F C (p), care asociază fiecărui punct MЄ(F) un punct

(şi numai unul) M'Є(p): f(M) = M', M' C (p).

Numind

"figură geometrică" - mulţimea F

şi  

"transformata" acesteia -  mulţimea f(F) = F' (imaginea funcţiei f),

spunem că funcţia f transformă figura F în figura F'.

În funcţie de legea de corespondenţă definită (sintetic, vectorial sau

analitic), figura F' poate (sau nu poate) fi congruentă cu figura F, la fel

(sau nu) aşezată în plan.

În cele de mai jos sunt prezentate transformările numite

translaţie, simetrie, rotaţie şi omotetie.

TRANSLATIA - teorie

Data publicarii: 15.07.2011

Definitie: 

Translaţia planului (p), de vector v cunoscut,

este o funcţie bijectivă t:(p) - > (p), care asociază fiecărui punct MЄ(p) un punct M'Є(p),

numit translatatul punctului M, astfel încât vec(MM') = vec(v).

Proprietati:

  • Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (intr-un segment).
  • Conserva directiile.
  • Conserva distantele, adica dacă M şi N au ca imagini M' şi N', atunci MN=M'N' (este o izometrie).
  • Conserva unghiurile orientate. 
  • Transforma o figura geometrica intr-o figura (invers) congruenta.
  • Mulţimea translaţiilor formează faţă de compunerea acestora (ca şi mulţimea vectorilor faţă de compunerea lor) un grup abelian; cele două grupuri sunt izomorfe.

Translatia unui punct in plan:

CONTINUARE LA : TRANSLATIA - teorie

SIMETRIA (fata de o axa) - teorie

Data publicarii: 19.07.2011

Definitie:

Daca (d) este o dreapta, simetria de axa (d) este o transformare a planului (p)

in el insusi, definita prin functia bijectiva s:(p) - > (p), astfel incat 

imaginea (simetricul) unui punct M este:

  • Tot M, daca M este situat pe (d).
  • Punctul M', astfel incat (d) sa fie mediatoarea segmentului [MM'], daca M nu este  un punct al dreptei (d).

Proprietati:

  • Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (intr-un segment).
  • Nu conserva directiile.
  • Conserva distantele (est une isometrie).
  • Nu conserva unghiurile orientate. 
  • Transforma o figura geometrica intr-o figura (invers) congruenta.

Simetricul unui punct:

CONTINUARE LA : SIMETRIA (fata de o axa) - teorie

ROTATIA (in jurul unui punct) - teorie

Data publicarii: 17.07.2011

Rotatia de unghi α a planului (p), in jurul unui punct fix O, numit centrul rotatiei,

este o functie bijectiva r:(p) - > (p), care asociaza fiecarui punct

MЄ(p) un punct M'Є(p), astfel incat OM = OM' si mas(<)MOM') = α.

Doua figuri geometrice plane (f) si (f') din (p) sunt asociate, printr-o rotatie r

(de unghi α si centru O), dacă si numai daca restrictia r:(f) - > (f') este bijectiva. 

Sunt evidente urmatoarele proprietati ale rotatiei:
  • Transforma o dreapta (segment) tot intr-o dreapta (segment).
  • Conserva distanţele (dacă M şi N au ca imagini M' şi N', atunci MN = M'N'). translaţia este, din acest motiv, o izometrie.
  • Conserva unghiurile.
  • Transforma o figura geometrica (f) intr-o figura geometrica congruenta (f').
  • Mulţimea rotatiilor formează faţă de compunerea acestora un grup abelian.

Rotatia unui punct in plan:

CONTINUARE LA : ROTATIA (in jurul unui punct) - teorie

OMOTETIA - teorie

Data publicarii: 20.07.2011

Definitie:

Fie un punct fix O si un numar real k, diferit de zero.

Omotetia de centru O si raport k este o transformare a planului (p),

definita prin functia bijectiva h:(p) - > (p), astfel incat imaginea (omoteticul)

unui punct M al planului (p) este punctul M', cu conditia 

\overrightarrow{OM^{\overrightarrow{OM^{'}}={k}\cdot{\overrightarrow{OM}}.

Observatii:

  • Pentru k = -1, omotetia este numita simetrie centrala de centru O.
  • Pentru k = 1, omotetia este o transformare identica.

Proprietati:

  • Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (un segment).
  • Conserva directiile.
  • Transforma un cerc tot intr-un cerc, raportul razelor fiind egal cu valoarea absoluta a raportului k al omotetiei.
  • Nu conserva, in general, distantele (pentru k raport de omotetie, lungimile sunt multiplicate prin |k| si ariile prin k²). 
  • Conserva unghiurile orientate.
  • Multimea omotetiilor, de acelasi centru, impreuna cu operatia de compunere formeaza un grup abelian, izomorf cu  grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.

Omoteticul unui punct:

CONTINUARE LA : OMOTETIA - teorie

PROBLEMA 4

Data publicarii: 21.07.2011

Suport teoretic:

Compunere transformari geometrice,translatie,simetrie,rotatie,omotetie,imagine vectori.

Enunt:

In planul (p), raportat la sistemul ortogonal (O,i,j), se dau: vectorul

AB (A-originea, B-extremitatea), unde A(-1;-2) si B(-2;-1), translatia t de vector

v = 2i ( i este versorul axei Ox), simetria s de axa Ox, rotatia r de centru I(1;2)

si unghi (masurat in sens trigonometric) α = 90° si omotetia h de centru J(2;2)

si raport k = 2.

Sa se determine expresia analitica a imaginii vectorului AB prin compunerea 

h o r o s o t : (p) - > (p).

Raspuns:

(h o r o s o t)(AB) = -2i + 2j.

CONTINUARE LA : PROBLEMA 4

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan