Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TRANSLATIA - teorie

Data publicarii: 15.07.2011

Definitie:

Translaţia planului (p), de vector v cunoscut, este o funcţie bijectivă t:(p) - > (p),

care asociază fiecărui punct M € (p) un punct M' € (p), numit translatatul

punctului M, astfel încât vec(MM') = vec(v).

Proprietati:

Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (intr-un segment).
Conserva directiile.
Conserva distantele, adica dacă M şi N au ca imagini M' şi N', atunci MN=M'N' (este o izometrie).
Conserva unghiurile orientate.
Transforma o figura geometrica intr-o figura (invers) congruenta.
Mulţimea translaţiilor formează faţă de compunerea acestora (ca şi mulţimea vectorilor faţă de compunerea lor) un grup abelian; cele două grupuri sunt izomorfe.

Data publicarii: 17.07.2011

Rotatia de unghi α a planului (p), in jurul unui punct fix O, numit centrul rotatiei, este

o functie bijectiva r:(p) - > (p), care asociaza fiecarui punct M€(p) un punct M'€(p),

astfel incat OM = OM' si mas(<)MOM') = α.

Doua figuri geometrice plane (f) si (f') din (p) sunt asociate, printr-o rotatie r

(de unghi α si centru O), dacă si numai daca restrictia r:(f) - > (f') este bijectiva.

Sunt evidente urmatoarele proprietati ale rotatiei:

Transforma o dreapta (segment) tot intr-o dreapta (segment).
Conserva distanţele (dacă M şi N au ca imagini M' şi N', atunci MN = M'N'). translaţia este, din acest motiv, o izometrie.
Conserva unghiurile.
Transforma o figura geometrica (f) intr-o figura geometrica congruenta (f').
Mulţimea rotatiilor formează faţă de compunerea acestora un grup abelian.

Data publicarii: 19.07.2011

Definitie:

Daca (d) este o dreapta, simetria de axa (d) este o transformare a planului (p) in el

insusi, definita prin functia bijectiva s:(p) - > (p), astfel incat imaginea unui punct M

este:

Tot M, daca M este situat pe (d).
Punctul M', astfel incat (d) sa fie mediatoarea segmentului [MM'], daca M nu este un punct al dreptei (d).

Proprietati:

Data publicarii: 20.07.2011

Definitie:

Fie un punct fix O si un numar real k, diferit de zero.

Omotetia de centru O si raport k este o transformare a planului (p), definita prin

functia bijectiva h:(p) - > (p), astfel incat imaginea unui punct M al planului (p)

este punctul M', cu conditia

$\overrightarrow{OM^{$ \overrightarrow{OM^{'}}={k}\cdot{\overrightarrow{OM}}.

Observatii:

Proprietati:

Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (un segment).
Conserva directiile.
Transforma un cerc tot intr-un cerc, raportul razelor fiind egal cu valoarea absoluta a raportului k al omotetiei.
Nu conserva, in general, distantele (pentru k raport de omotetie, lungimile sunt multiplicate prin |k| si ariile prin k²).
Conserva unghiurile orientate.
Multimea omotetiilor, de acelasi centru, impreuna cu operatia de compunere formeaza un grup abelian, izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.