Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 09 Iunie, 2010

TEORIE

Fie doua polinoame f,g de K[X], unde K este un corp comutativ (camp)

(cazurile cel mai des intalnite fiind multimea numerelor complexe si

multimea claselor de resturi modulo n, cu n numar prim).

Pentru identificarea polinomului (f,g) (c.m.m.d.c. al polinoamelor f si g) se parcurg

urmatoarele etape:

1) Dacă f = g =O (ambele sunt egale cu polinomul nul), atunci (f,g) = O.

2) Dacă f = O, iar g este nenul, atunci (f,g) = g, iar daca g = O, iar f este nenul, atunci

(f,g) = f.

3) Fie f şi g doua polinoame nenule, astfel incat grad(f) > grad(g).

Conform teoremei impartirii cu rest

\exists{q_1,r_1}\in{K[X]},\exists{q_1,r_1}\in{K[X]},

astfel incat:

f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.

Avem cazurile:

a)\; r_1=0.\;Atunci\;(f,g)=g.a)\; r_1=0.\;Atunci\;(f,g)=g.

b)\;{ r_1}\not={0},\;atunci\;\exists{q_2,r_2}\in{K[X]},\;astfel\;incat:b)\;{ r_1}\not={0},\;atunci\;\exists{q_2,r_2}\in{K[X]},\;astfel\;incat:

g={r_1}{q_2}+{r_2},\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.g={r_1}{q_2}+{r_2},\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.

1)\;Daca\;{r_2}=0,\;atunci\;(f,g)={r_1}.1)\;Daca\;{r_2}=0,\;atunci\;(f,g)={r_1}.

2)\;Daca\;{r_2}\not={0},2)\;Daca\;{r_2}\not={0},

atunci se continua procedeul, obtinand relatiile:

f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.

g=r_1q_2+r_2,\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.g=r_1q_2+r_2,\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.

r_1=r_2q_3+r_3,\;{grad(r_3)}<{grad(r_2)}.r_1=r_2q_3+r_3,\;{grad(r_3)}<{grad(r_2)}.

          ...................................................................................

r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\;{grad(r_{n+1})}<{grad(r_n)}.r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\;{grad(r_{n+1})}<{grad(r_n)}.

...................................................................................

Din cele de mai sus rezulta ca:         

{grad(q)}>{grad(r_1)}>{grad(r_1)}>{grad(r_2)}>\cdots>{grad(r_n)}>\cdots\ge{0}.{grad(q)}>{grad(r_1)}>{grad(r_1)}>{grad(r_2)}>\cdots>{grad(r_n)}>\cdots\ge{0}.

S-a obtinut un sir descrescator de numere naturale, ceea ce

conduce la ideea ca

\exists{m}\in{\mathbb{N}},\;astfel\;incat\;{r_m}\not={0}\;si\;{r_{m+1}}=0,\exists{m}\in{\mathbb{N}},\;astfel\;incat\;{r_m}\not={0}\;si\;{r_{m+1}}=0,

prin urmare:

(f,g)=(g,{r_1})=(r_1,r_2)=\cdots=(r_{m-1},r_m)=(r_m,0)=r_m.(f,g)=(g,{r_1})=(r_1,r_2)=\cdots=(r_{m-1},r_m)=(r_m,0)=r_m.

4) Penultimul rest nenul este, deci, un c.m.m.d.c. al polinoamelor

f si g.

Observatii:

a) Se convine, de obicei, a se desemna drept c.m.m.d.c. polinomul unitar

corespunzator rezultatului astfel obtinut (adica polinomul asociat in divizibilitate,

obtinut prin inmultire cu inversul coeficientului dominant). 

b) In sirul impartirilor succesive ale algoritmului lui Euclid conteaza doar resturile

obtinute, din care motiv, pentru a avea calcule mai simple, deseori acestea se

inmultesc cu elemente convenabil alese din corpul K.

c) Algoritmul lui Euclid se poate folosi şi pentru aflarea c.m.m.d.c. al mai multor

polinoame, de pilda f, g, h.

Se calculează mai întâi (f,g) = d,  apoi (h,d) = e.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Msb

Stefanut, 05.04.2013 15:33

De mare ajutooorb

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan