Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU

Data publicarii: 03 Martie, 2011

PLANUL

a) Ecuatia carteziana generala a planului:

ax + by + cz + d = 0,

unde a, b, c, d sunt numere reale, iar numarul real a² + b² + c² este nenul.

b) Ecuatia planului prin taieturi:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0 ,

dacă planul taie axele de coordonate în punctele A(a,0,0), B(0,b,0) si C(0,0,c).

c) Ecuatia planului ce trece prin 3 puncte necoliniare, sub forma de determinant:

$\left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x&y&z&1\\x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{array}\right|=0.

Observaţie:

Din această ecuaţie a planului se obţine condiţia de coliniaritate a 4 puncte în spaţiu:

$\left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.$ \left|\begin{array}{cccc}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{array}\right|=0.

d) Ecuatiile parametrice ale planului determinat de 3 puncte necoliniare:

$\begin{cases}x=x_1+\alpha(x_2-x_1)+\beta(x_3-x_1)\\y=y_1+\alpha(y_2-y_1)+\beta(y_3-y_1)\\z=z_1+\alpha(z_2-z_1)+\beta(z_3-z_1)\end{cases},\;{\alpha,\beta}\in{\mathbb{R}}.$ \begin{cases}x=x_1+\alpha(x_2-x_1)+\beta(x_3-x_1)\\y=y_1+\alpha(y_2-y_1)+\beta(y_3-y_1)\\z=z_1+\alpha(z_2-z_1)+\beta(z_3-z_1)\end{cases},\;{\alpha,\beta}\in{\mathbb{R}}.

e) Ecuatia vectoriala a normalei la plan, definit prin ecuatia ax + by + cz + d = 0:

$\vec{n}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}.$ \vec{n}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}.

Observatie:

Coeficienţii a, b şi c se numesc parametrii directori ai planului.

f) Unghiul ascutit format de 2 plane:

$\cos{\varphi}=\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}}\cdot{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}},$ \cos{\varphi}=\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}}\cdot{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2+{c_2}^2}}},

unde ak, bk, ck, k € {1, 2} sunt parametrii directori ai celor 2 plane.

Observatie:

De aici se obţine condiţia de perpendicularitate a celor 2 plane, anume:

a1 · a2 + b1 · b2 + c1 · c2 = 0.

g) Distanta de la un punct la un plan:

$d=\frac{|ax_{\circ}+b{y_\circ}+cz_{\circ}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$ d=\frac{|ax_{\circ}+b{y_\circ}+cz_{\circ}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},

unde a, b, c, d, xo, yo, zo, sunt coeficienţii din ecuaţia planului, respectiv

coordonatele punctului.

h) Unghiul ascutit format de o dreapta cu un plan:

$\sin{\varphi}=\frac{al+bm+cn}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}},$ \sin{\varphi}=\frac{al+bm+cn}{{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\cdot{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}},