Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 13 Decembrie, 2010

TEORIE

Definitie: 

O functie f:A - > B este inversabila, daca exista o functie

g:B - > A, astfel incat fog = 1B si gof = 1A

unde 1M:M - >M, 1M(x) = x, oricare ar fi xЄM,

se numeste aplicatia identica a multimii M.

In cazul particular A = B, are loc egalitatea: fog = gof = 1A.

Observatii:

  • In mod obisnuit, inversa functiei f, cand exista, se noteaza f^{-1};f^{-1};   
  • În cazul cand exista, se arata ca functia g (inversa functiei f) este unica;
  • In aceste conditii, are loc echivalenta 

       y = f(x) <=> x = g(y),

unde x parcurge domeniul de definitie A al functiei f, iar y, imaginea lui x prin functia f, parcurge domeniul de definitie B al functiei g (codomeniul functiei f);

  • Graficele unei functii si al inversei acesteia (cand exista!) sunt simetrice fata de prima bisectoare.

  • Dacă functia f:A - > B, este bijectiva, atunci, practic, legea inversei se afla rezolvand ecuatia y = f(x), in care necunoscuta xЄA se afla in functie de y, ales arbitrar din B. Evident, solutia (unica !) a acestei ecuatii, va fi de forma x={f^{-1}}(y)x={f^{-1}}(y) si, in baza celor de mai sus, avem:

{f}\circ{f^{-1}}=1_B\;si\;{f^{-1}}\circ{f}=1_A.{f}\circ{f^{-1}}=1_B\;si\;{f^{-1}}\circ{f}=1_A.

Intr-adevar:

({f}\circ{f^{-1}})(y)=(f(f^{-1}))(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y,\;\forall{y}\in{B};({f}\circ{f^{-1}})(y)=(f(f^{-1}))(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y,\;\forall{y}\in{B};

si 

({f^{-1}}\circ{f})(x)=({f^{-1}}(f))(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x,\;\forall{x}\in{A}.({f^{-1}}\circ{f})(x)=({f^{-1}}(f))(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x,\;\forall{x}\in{A}.

Teoremă: 

O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Carlynda

RTfbgJELluvzoI, 28.12.2011 18:26

AFAICT you've covered all the bases with this anwesr!

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan