Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 23 Iulie, 2010

TEORIE

Definitii si proprietati:

Fie un corp comutativ K si multimea Im,n = (i,j), i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , n.

O functie A:Im,n  - > K se numeste matrice de tip (m,n) (avand m linii si n coloane), cu

elemente din corpul K.

Matricea A se scrie sub forma:

\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right).\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right).

Observatii:

1) Matricea patratica (m = n), avand toate elementele egale cu 0 

(elementul neutru al corpului K fata de legea aditiva), se numeste

matricea nula; notatie: On. Exemplu:

O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.O_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

2) Matricea patratica, in care toate elementele de pe diagonala principala

(aii, i = 1, 2, ... , n) sunt egale cu 1 (elementul neutru al corpului K fata de legea

multiplicativa) si celelalte elemente sunt egale cu 0, se numeste

matricea unitate. Notatie: Isau Un. Exemplu:

I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Urma unei matrice (patratice, de ordinul n):

Fie A = (aij) o matrice patratica de ordinul n, cu elemente intr-un corp comutativ K.

Se numeste urma matricei A, scalarul  \sum_{i=1}^{i=n}{{a}_{ii}},\;notat\;{Tr(A)}.\sum_{i=1}^{i=n}{{a}_{ii}},\;notat\;{Tr(A)}.

Exemplu: 

Urma matricei  A=\begin{pmatrix}2&3\\6&11\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}2&3\\6&11\end{pmatrix}   este  Tr(A)=a_{11}+a_{22}=2+11=13.Tr(A)=a_{11}+a_{22}=2+11=13.

Proprietati importante ale urmei unei matrice:

1) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B), pentru orice matrice A,B€M2(C).

2) Tr(m·A) = m·Tr(A), pentru orice m€C si A€M2(C).

3) Tr(A·B) = Tr(B·A), pentru orice matrice A,B€M2(C).

4)\;Tr(UAU^{-1})=Tr(A),\;\forall{A,U}\in{M_2(C)}\;si\;U\;inversabila.4)\;Tr(UAU^{-1})=Tr(A),\;\forall{A,U}\in{M_2(C)}\;si\;U\;inversabila.

Operatiile cu matrice:  adunarea a doua matrice, inmultirea unei matrice cu un scalar

(element al corpului K), inmultirea a doua matrice si ridicarea la o putere naturala a

unei matrice, sunt prezentate aici:

Ecuatia Caylay - Hamilton:

A² - Tr(A)·A + det(A)·I2 = O2,

unde A este o matrice patratica oarecare de ordinul al 2 - lea, I2 si O2 sunt matricea

unitate si matricea nula, ambele de ordinul al 2 - lea. 

Inelul matricelor patratice (de ordinul n cu elemente in C): (Mn(C),+,·)

a) Cuplul (Mn(C),+) formeaza grup abelian

(multimea Mn(C) este parte stabila fata de adunare,

adunarea este asociativa, comutativa, exista element neutru (matricea  nula), orice

matrice admite simetric (opusa sa));

b) Cuplul (Mn(C),·) formeaza monoid

(multimea Mn(C) este parte stabila fata de inmultire,

este asociativa, exista element neutru (matricea unitate));

c) Inmultirea este distributiva fata de adunare (la stanga si la dreapta).

Observatie:

Intrucat inmultirea matricelor nu este comutativa, inelul este necomutativ.

Inversa unei matrice:

Definitie: O matrice patratica A este inversabila daca exista o matrice de acelasi tip,

notata A^{-1}A^{-1} , cu proprietatea {A}\cdot{A^{-1}}={A^{-1}}\cdot{A}=I,{A}\cdot{A^{-1}}={A^{-1}}\cdot{A}=I, unde I este matricea unitate.

Fie A€Mn(C) o matrice patratica de ordinul n cu coeficienti in C.

Teorema: 

Matricea A este inversabila daca si numai daca det(A) este nenul

(in acest caz, matricea A se numeste nesingulara sau nedegenerata).

Matricea inversa a matricei A este data de formula:

{A^{-1}}={\frac{1}{detA}}\cdot{A^*}{A^{-1}}={\frac{1}{detA}}\cdot{A^*} ,

unde A* (matricea adjuncta a matricei A) se obtine inlocuind fiecare element al  

matricei tA (matricea transpusa a matricei A) cu complementul sau algebric

{A_{ij}}={(-1)^{i+j}}\cdot{M_{ij}},{1}\leq{i,j}\leq{n}{A_{ij}}={(-1)^{i+j}}\cdot{M_{ij}},{1}\leq{i,j}\leq{n} ,

unde Mij este minorul elementului aij din tA

(determinantul obtinut din tA prin eliminarea liniei i si coloanei j).

Postat în MATRICE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Jetsyn

YpkIQckiPB, 04.08.2011 00:25

And I was just wondrieng about that too!

 

Selecteaza link-ul de mai jos pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

Abonare la ultimele noutati aparute pe website !

Abonează-te şi vei fi anunţat(ă) în legătură cu ultimele noutăţi apărute pe site, numai după ce vei confirma aceasta opţiune in email-ul primit la adresa indicată!

 

 
Developed by Hagau Ioan