Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 31 Ianuarie, 2013

TEORIE.

Functie convexa:

O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste functie convexa pe intervalul I,

daca pentru orice x1,xЄI si oricare ar fi tЄ[0;1], are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.f((1-t){x_1}+t{x_2})\leq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.  

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si

{f^{{f^{''}}(x)\geq{0},\forall{x}\in{I},  

atunci functia f este convexa pe intervalul I.

Exemplu:

Functia

f:R - > R, f(x) = x²

este convexa pe R intrucat pentru orice x1,xЄR si oricare ar fi tЄ[0;1]:

f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2).

Intr-adevar:

f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2)f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2) \Leftrightarrow\Leftrightarrow {{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2}{{((1-t)x_1+tx_2)}^2}\le{(1-t){x_1}^2+t{x_2}^2} \Leftrightarrow\Leftrightarrow

\cdots\cdots \Leftrightarrow\Leftrightarrow {t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},{t(t-1){(x_1-x_2)}^2}\le{0},

evident adevarat, pentru orice x1,xЄR si oricare ar fi tЄ[0;1].

Observatie:

Se demonstreaza, in mod similar ca, in general, o functie de gradul al doilea,

definita prin legea

f:R - > R, f(x) = ax² + bx + c, este convexa daca a > 0.

Functie concava:

  • O functie f:I - > R, unde I este interval, se numeste

functie concava pe intervalul I daca pentru orice x1,x2ЄI si oricare ar fi tЄ[0;1],

are loc inegalitatea:

f((1-t){x_1}+t{x_2})\geq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.f((1-t){x_1}+t{x_2})\geq{(1-t)f(x_1)+tf(x_2)}.

Observatie:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este derivabila de doua ori pe I si 

{f^{{f^{''}}(x)\leq{0},\forall{x}\in{I},

atunci functia f este concava pe intervalul I.

Inegalitatea lui Jensen:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval, este convexa , atunci:

{f(k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n)}\le{k_1f(x_1)+k_2f(x_2)+\cdots+k_nf(x_n)},{f(k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n)}\le{k_1f(x_1)+k_2f(x_2)+\cdots+k_nf(x_n)},

unde ki > 0, iЄ{1, 2, ... ,n}, k1 + k2 + ... + kn = 1,

pentru orice xiЄI si (k1x1 + k2x2 + ... + knxn)ЄI.

Daca functia este concava pe I, atunci inegalitatea este inversa.

Observatie:

Luand ki = 1/n, iЄ{1, 2, ... ,n}, se obtin cazurile particulare:

  • Daca f este convexa, atunci:

{f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}\le{\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}}.{f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}\le{\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}}.

  • Daca f este concava, atunci:

{f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}\ge{\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}}.{f(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}\ge{\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}}.

Aplicatie:

Se stie ca functia

f:(0,+oo) - > R, f(x) = lnx este concava pe (0,+oo)

(pentru ca f''(x) = -(1/x²) < 0, de exemplu);

folosind acest fapt, sa demonstram inegalitatea dintre

media geometrica si media aritmetica a n numere pozitive. Deci:

{ln(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}\ge{\frac{lnx_1+lnx_2+\cdots+lnx_n}{n}}{ln(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}\ge{\frac{lnx_1+lnx_2+\cdots+lnx_n}{n}} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {ln{(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}^n}\ge{ln({x_1}{x_2}\cdots{x_n})}{ln{(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}^n}\ge{ln({x_1}{x_2}\cdots{x_n})} \Leftrightarrow\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\Leftrightarrow {{(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}^n}\ge{({x_1}{x_2}\cdots{x_n})}{{(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})}^n}\ge{({x_1}{x_2}\cdots{x_n})} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}}\ge{\sqrt[n]{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}}\;.{{\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}}}\ge{\sqrt[n]{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}}\;.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan