Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

TEORIE

Fie polinomul f cu coeficienti complecsi si nedeterminata X, de gradul n,

f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{a_n}\neq{0},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{a_n}\neq{0},

si

{x_k},\;{1}\leq{k}\leq{n}{x_k},\;{1}\leq{k}\leq{n}

radacinile sale; atunci:

\begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},\begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},

unde prin

\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}

s-a notat suma tuturor produselor celor i radacini ale polinomului f, i = 1, 2, 3, ... , n.

Cazuri particulare:

  • Ecuatia de gradul al doilea: 

ax² + bx + c = 0 =>

S1 = S = x1x2 = -b/a,

S= P = x+ x= c/a.

  • Ecuatia de gradul al treilea: 

ax³ + bx² + cx + d = 0 =>

S1 = x+ x2 + x3,

S2 = x1x+ x2x+ x3x1 ,

S3 = x1x2x3.

Observatie:

Daca se noteaza cu S, S, S,..., Ssumele din relatiile lui Viète, atunci ecuatia algebrica, ale carei radacini sunt x, x, x,..., xnare urmatorul aspect:

x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.  

Cazuri particulare:

  • Ecuatia de gradul al doilea:  x² - S·x + P = 0.
  • Ecuatia de gradul al treilea:  x³ - S1·x² + S2·x - S3 = 0.

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan