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Data publicarii: 24 Mai, 2014

TEORIE

Cazul I: 0/0. 

Fie functiile f,g:I -> R, unde I este interval in R si a este un punct de acumulare al acestuia. Daca: 

1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)}=0,1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)}=0,

2)\;f\;si\;g\;sunt\; derivabile\; pe2)\;f\;si\;g\;sunt\; derivabile\; pe I\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}},I\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}},

3)\;g(x)\neq{0}\;\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},3)\;g(x)\neq{0}\;\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},

4)\;{{{g}^{ 4)\;{{{g}^{ '}}(x)}\neq{0},\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},

5)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{5)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

atunci functia f/g are limita in x = a si:

\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}}.

Cazul II: oo/oo.

Fie functiile f,g: I - > R, unde I este interval in R si a este un punct de acumulare al acestuia. Daca: 

1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|f(x)|}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|g(x)|} =+\infty,1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|f(x)|}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|g(x)|} =+\infty,

2)\;f\; si\; g\;sunt\;derivabile\;pe\;{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}},2)\;f\; si\; g\;sunt\;derivabile\;pe\;{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}},

3)\;{{{g}^{ 3)\;{{{g}^{ '}}(x)}\neq{0},\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},

4)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{4)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

atunci:

I) functia f/g are limita in x = a,

II) \lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}}.


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