Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 21 Februarie, 2014

TEORIE

Fie o functie f:E - > R, unde E este interval sau reuniune de intervale.

Spunem ca functia f este derivabila de ordinul 1 pe E, daca f este derivabila pe E.

In acest caz, se poate defini functia g:E - > R, g(x) = f'(x), numita derivata functiei f.

Spunem ca functia f este de doua ori derivabila in xo € R, daca f este derivabila intr-o

vecinatate a lui xo  si functia f' este derivabila in xo .

In acest caz derivata functiei f' se numeste derivata a doua (sau de ordinul al doilea) 

a functiei f in punctul xo  si se noteaza f"(xo).

Prin urmare, avem:

f^{"}(x_{\circ})=\lim_{{x}\rightarrow{x_{\circ}}}\frac{f^{f^{"}(x_{\circ})=\lim_{{x}\rightarrow{x_{\circ}}}\frac{f^{'}(x)-f^{'}(x_{\circ})}{x-x_{\circ}}.

Ca mai sus, spunem ca functia f este de doua ori derivabila,

daca functia f' este derivabila, iar functia (f')':E - > R se numeste

derivata de ordinul al doilea a functiei f.

Se folosesc notatiile (f')'  sau f", sau f^(2).f^(2).

In acest fel, vom defini derivata de ordinul n€N, functia f care verifica egalitatea:

f^{(n)}=(f^{(n-1)})^{f^{(n)}=(f^{(n-1)})^{'}.   

Conventional, se defineste derivata de ordinul zero ca fiind f^{0}=f.f^{0}=f.

Daca pentru orice n€N, functia f este de n ori derivabila, spunem ca functia f este

indefinit derivabila (sau infinit derivabila).

Rezultate remarcabile:

Se demonstreaza prin inductie matematica:

1)\;sin^{(n)}x=sin(x+n\cdot{\frac{\pi}{2}}),\;\forall{n\in{\mathbb{N}}}.1)\;sin^{(n)}x=sin(x+n\cdot{\frac{\pi}{2}}),\;\forall{n\in{\mathbb{N}}}.

2)\;cos^{(n)}x=sin(x+n\cdot{\frac{\pi}{2}}),\;\forall{n\in{\mathbb{N}}}.2)\;cos^{(n)}x=sin(x+n\cdot{\frac{\pi}{2}}),\;\forall{n\in{\mathbb{N}}}.

3)\;{(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^{k=n}{C}_{n}^{n-k}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)};3)\;{(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^{k=n}{C}_{n}^{n-k}{u}^{(n-k)}{v}^{(k)};

(formula lui Leibniz).

4)\;{(\frac{1}{x-a})}^{(n)}={(-1)^{n}}\cdot{\frac{n!}{(x-a)^{n+1}}},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{x}\in{\mathbb{R^*}\setminus\{a\}}.4)\;{(\frac{1}{x-a})}^{(n)}={(-1)^{n}}\cdot{\frac{n!}{(x-a)^{n+1}}},\forall{a}\in{\mathbb{R}},\forall{x}\in{\mathbb{R^*}\setminus\{a\}}.  


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan