Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 09 Februarie, 2012

TEORIE

Definitii si proprietati:

  • Fiind date două mulţimi nevide A şi B şi o lege (formulă, regulă) de corespondenţă între elementele celor doua mulţimi, notată, de exemplu, cu f, care asociază fiecărui element xЄA un element unic yЄB, tripletul (A,B,f) se numeşte

funcţie (aplicaţie) definită pe A, cu valori în B.

Notatie uzuala:

f:A - > B <=> oricare ar fi xЄA, exista yЄB, y unic, astfel incat y = f(x).

  • Multimile A si B se numesc domeniul, respectiv

codomeniul functiei f, iar elementele x si y preimaginea lui y, prin functia frespectiv

imaginea lui x prin functia f.

  • Daca A si B sunt multimi de numere reale, atunci f se numeste functie numerica.
  • Functiile f:A - > B si  g:A' - > B' sunt egale daca 

A = A', B = B' si f(x) = g(x), oricare ar fi xЄA.

  • Numim graficul unei functii  f:A - > B multimea Gf = {(x,y)|x€A, y = f(x)}.
  • Multimea punctelor din planul raportat la un sistem de axe rectangulare (xOy), ale caror coordonate sunt date de graficul functiei numerice  f:A - > Bconstituie

reprezentarea geometrica a graficului functiei f 

(in limbaj simplificat graficul functiei f, daca nu exista pericol de confuzii).

Exemple de functii:

  • Functia constanta:

f:R - >R, f(x) = c, unde cЄR.

(exemple: f(x) = 3; f(x) = -1/2; f(x) = 0; f(x) = π).

Reprezentare grafica:

dreapta paralela cu axa Ox pentru cЄR* si Ox, pentru c = 0.

 

Observatii:

Axa absciselor are ecuatia y = 0 < = > f(x) = 0, x real arbitrar.

Axa ordonatelor are ecuatia x = 0, y real arbitrar.

  • Functia de gradul I:

f:R - > R, f(x) = ax + b, unde aЄR* si bЄR.

(exemple: f(x) = 5x - 7; f(x) = -12x; f(x) = x; f(x) = -x + 4,5).

Observatie:

Functiile de forma

f:R - > R, f(x) = ax + b, unde a,bЄR, se numesc functii afine.

Reprezentare grafica:

o dreapta oblica fata de axele de coordonate.

(exemple: f(x) = 5x - 7; f(x) = -12x; f(x) = x; f(x) = -x + 4,5).

Semnul functiei:

f are semnul lui a pe (-b/a,+oo)

si

semn contrar lui a pe (-oo,-b/a).

(exemple: f(x) = 5x - 7; f(x) = -12x; f(x) = x; f(x) = -x + 4,5).

Panta unei drepte:

Coeficientii a si b din ecuatia y = ax + b se numesc panta,

respectiv ordonata la origine a dreptei respective.

Observatii:

Bisectoarea intai (a unghiurilor, opuse la varf, ce corespund cadranelor I si III)

are ecuatia:

 y = x < = > f(x) = x, x real arbitrar.

Bisectoarea a doua (a unghiurilor, opuse la varf, ce corespund cadranelor II si IV)

are ecuatia:

y = -x < = > f(x) = -x, x real arbitrar.

  • Functia de gradul al II-lea:

f:R - >R, f(x) = ax² + bx + c, unde aЄR*; b,cЄR.

Exemple:

f(x) = 5x² - x + 2;

f(x) = x² + 7x;

f(x) = 10x² - 8;

f(x) = -6,1x²;

f(x) = x².

Observatie:

Aceasta functie se studiaza complet in clasa a 9-a (vezi detalii aici).

  • Functia modul (functia valoare absoluta):

f:R - > [0,+oo),

f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases}f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases}

sau 

f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases}

sau 

f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

Reprezentarea grafica:

reuniunea a doua semidrepte formand un unghi drept, cu varful in originea axelor de

coordonate si situat de-asupra axei absciselor.

Proprietati:

  • |x| > 0 sau |x| = 0, oricare ar fi xЄR;
  • |x| = 0 <=> x = 0;
  • |x|² = 0, oricare ar fi xЄR;
  • |x·y| = |x|·|y|, oricare ar fi x,yЄR => |-x| = |x|, oricare ar fi xЄR;
  • |x/y| = |x|/|y|, oricare ar fi x,yЄR, y≠0;
  • {|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};{|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};
  • |x| = a <=> x = a sau x = -a, unde a > 0;
  • |x| = |y| <=> x = y sau x = -y;
  • |x| < c < = > xЄ(-c,c), oricare ar fi c > 0;
  • |x| > c < = > xЄ(-oo,-c)U(c,+oo), oricare ar fi c > 0.
Postat în: FUNCTII-gimnaziu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan