Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 20 Septembrie, 2011

TEORIE

Exista o substantiala varietate de sisteme neliniare (a nu se intelege, de aici, ca orice sistem, care nu-i liniar, se numeste neliniar!), din care cauza studiul lor sistematic este imposibil de realizat. Distingem, totusi, cateva tipuri mai des intalnite, rezolvarea acestora putand fi usor algoritmizata: 

1) Sisteme alcatuite dintr-o ecuatie de gradul al doilea si alta de gradul intai (ambele cu doua necunoscute),

de forma:

\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\mx+ny+p=0\end{cases}.\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\mx+ny+p=0\end{cases}.

Pentru rezolvare, de regula, se foloseste metoda substitutiei: din ecuatia a doua se afla una din necunoscute, dupa care se face inlocuirea in prima ecuatie etc.

Observatie:

Ecuatiile reprezinta o parabola si o dreapta, deci eventualele solutii reale ale sistemului reprezinta coordonatele punctelor comune celor doua curbe.

2) Sisteme alcatuite din doua ecuatii de gradul al doilea, cu doua necunoscute,

de forma:

\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\y=mx^2+nx+p\end{cases}.\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\y=mx^2+nx+p\end{cases}.

Cu metoda substitutiei, se obtine o ecuatie de gradul al doilea in x, se rezolva, apoi se afla si y.

Observatie:

Ecuatiile reprezinta 2 parabole, deci eventualele solutii reale ale sistemului reprezinta coordonatele punctelor comune celor doua curbe.

3) Sisteme alcatuite din doua ecuatii de gradul al doilea, cu doua necunoscute,

de forma:

\begin{cases}ax^2+bxy+cy^2=0\\mx^2+nxy+py^2=r\end{cases},\;r\not={0}.\begin{cases}ax^2+bxy+cy^2=0\\mx^2+nxy+py^2=r\end{cases},\;r\not={0}.

(prima ecuatie este omogena, a doua neomogena).

Se imparte prima ecuatie prin y² (nenul, caci altminteri rezulta ca si x = 0, iar ecuatia a doua conduce la o contradictie, r fiind considerat nenul); se obtine, astfel, o ecuatie de gradul al doilea cu necunoscuta (x/y), se rezolva, apoi rezultatele se combina cu ecuatia neomogena, folosind metoda substitutiei etc.

4) Sisteme alcatuite din doua ecuatii de gradul al doilea, cu doua necunoscute,

de forma:

\begin{cases}ax^2+bxy+cy^2=d\\mx^2+nxy+py^2=r\end{cases},\;d,\;r\not={0}.\begin{cases}ax^2+bxy+cy^2=d\\mx^2+nxy+py^2=r\end{cases},\;d,\;r\not={0}.

 

(ambele ecuatii sunt neomogene).

Se construieste o combinatie liniara a celor doua ecuatii, astfel incat sa se obtina o ecuatie omogena (de pilda, se inmulteste prima cu r, a doua cu (- d) si apoi se aduna membru cu membru); in final, se urmeaza procedura prezentata la 3).

5) Sisteme simetrice, alcatuite din doua ecuatii cu doua necunoscute (fiecare ecuatie se reproduce daca se permuta intre ele, cele doua necunoscute).

Rezolvarea acestora se bazeaza pe substitutiile

x + y = S si x·y = P.

6) Sisteme simetrice, alcatuite din trei ecuatii cu trei necunoscute (fiecare ecuatie se reproduce daca se permuta intre ele, cele trei necunoscute).

Un astfel de sistem se reduce la urmatoarea forma:

\begin{cases}x+y+z=a\\xy+yz+zx=b\\xyz=c\end{cases},\begin{cases}x+y+z=a\\xy+yz+zx=b\\xyz=c\end{cases},

unde a, b si c sunt numere complexe.

Rezolvarea se bazeaza pe relatiile lui Viète, care

permit echivalarea sistemului cu ecuatia

t³ - at² + bt - c = 0.

Se rezolva aceasta, se obtin 3 solutii, ale caror permutari

(triplete ordonate) formeaza solutia sistemului.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan