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Data publicarii: 22 Iunie, 2011

TEORIE

OPERATII:

  • Reuniunea:

AUB = {x|x€A, sau x€B}.

Generalizare:

{\bigcup}_{k=1}^{k=n}{M_k}=\{x|{x}\in{M_1},\;sau,\;\cdots,\;sau\;{x}\in{M_n}\}.{\bigcup}_{k=1}^{k=n}{M_k}=\{x|{x}\in{M_1},\;sau,\;\cdots,\;sau\;{x}\in{M_n}\}.

  • Intersectia:

AB = {x|x€A si x€B}.

Generalizare:

{\bigcap}_{k=1}^{k=n}{M_k}=\{x|{x}\in{M_1}\;si\;\cdots\;si\;{x}\in{M_n}\}.{\bigcap}_{k=1}^{k=n}{M_k}=\{x|{x}\in{M_1}\;si\;\cdots\;si\;{x}\in{M_n}\}.

Observatie:

Daca AB = Φ, multimile A si B se numesc multimi disjuncte.

  • Incluziunea:

Daca toate elementele unei multimi A apartin si multimii B, se spune ca multimea A este inclusa in multimea B; notatie: {A}\subset{B}.{A}\subset{B}. Se spune, in acest caz, ca multimea A este parte (submultime) a multimii B, sau A este inclusa in B

(sau B include A; notatie: {B}\supset{A}{B}\supset{A} ).

Observatii:

1) Fiind data o multime nevida M, se spune ca submultimile acesteia, M1, M2,...,Mn formeaza o partitie a multimii M, daca reuniunea lor este egala cu M si oricare doua dintre ele sunt disjuncte.

2) Cardinalul unei multimi finite reprezinta numarul elementelor acesteia.

3) Fiind data o multime finita M, cu n elemente, multimea tuturor submultimilor acesteia, notata P(M) (inclusiv multimea vida si multimea insasi), are cardinalul egal cu 2^n.2^n.

Exemplu

Daca M = {a, b, c}, atunci:

Card(P(M)) = Card({Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}) = 8 = 2³.

  • Egalitatea a doua multimi:

{A=B}\Leftrightarrow{{A}\subset{B}\;si\;{B}\subset{A}}.{A=B}\Leftrightarrow{{A}\subset{B}\;si\;{B}\subset{A}}.

  • Diferenta a doua multimi:

{A}\setminus{B}=\{x|{x}\in{A}\;si\;{x}\notin{B}\}.{A}\setminus{B}=\{x|{x}\in{A}\;si\;{x}\notin{B}\}.

Observatii:

1) Daca multimea A este inclusa in multimea B, atunci notatia

C_BA=\{x|{x}\in{B}\;si\;{x}\notin{A}\}={B}\setminus{A}.C_BA=\{x|{x}\in{B}\;si\;{x}\notin{A}\}={B}\setminus{A}.

defineste complementara multimii A fata de multimea B.

2) Daca multimea B este subinteleasa intr-un context oarecare, atunci complementara multimii A fata de multimea B (subinteleasa) se noteaza, simplu:

C(A)\;sau\;\bar{A}.C(A)\;sau\;\bar{A}.  

3) Sunt cunoscute urmatoarele formule (Legile De Morgan):

a)\;C({A}\cup{B})={C(A)}\cap{C(B)}\;sau:\;\overline{{A}\cup{B}}={\bar{A}}\cap{\bar{B}};a)\;C({A}\cup{B})={C(A)}\cap{C(B)}\;sau:\;\overline{{A}\cup{B}}={\bar{A}}\cap{\bar{B}};

b)\;C({A}\cap{B})={C(A)}\cup{C(B)}\;sau:\;\overline{{A}\cap{B}}={\bar{A}}\cup{\bar{B}}.b)\;C({A}\cap{B})={C(A)}\cup{C(B)}\;sau:\;\overline{{A}\cap{B}}={\bar{A}}\cup{\bar{B}}.

  • Diferenta simetrica a doua multimi:

{A}\Delta{B}={({A}\setminus{B})}\cup{({B}\setminus{A})}.{A}\Delta{B}={({A}\setminus{B})}\cup{({B}\setminus{A})}.

  • Produs cartezian:

{A}\times{B}=\{(a,b)|{a}\in{A}\;si\;{b}\in{B}.\}{A}\times{B}=\{(a,b)|{a}\in{A}\;si\;{b}\in{B}.\}

Generalizare:

{M_1}\times{M_2}\times\cdots\times{M_n}={M_1}\times{M_2}\times\cdots\times{M_n}= \{(m_1,m_2,...,m_n)|{m_k}\in{M_k},\;k=\overline{1,n}\}.\{(m_1,m_2,...,m_n)|{m_k}\in{M_k},\;k=\overline{1,n}\}.

MULTIMI NUMERICE:

1)\;\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...,n,...\}1)\;\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...,n,...\} - multimea numerelor naturale;

2)\;{\mathbb{N}}^*={\mathbb{N}}\setminus\{0\}2)\;{\mathbb{N}}^*={\mathbb{N}}\setminus\{0\} - multimea numerelor naturale nenule;

3)\;\mathbb{Z}=\{...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,n...\}3)\;\mathbb{Z}=\{...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,n...\} - multimea numerelor intregi;

4)\;{\mathbb{Z}}^*={\mathbb{Z}}\setminus\{0\}4)\;{\mathbb{Z}}^*={\mathbb{Z}}\setminus\{0\} - multimea numerelor intregi nenule;

5)\;\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|{a,b}\in{\mathbb{Z}},\;b\not={0}\}5)\;\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|{a,b}\in{\mathbb{Z}},\;b\not={0}\} - multimea numerelor rationale;

6)\;{\mathbb{Q}}^*={\mathbb{Q}}\setminus\{0\}6)\;{\mathbb{Q}}^*={\mathbb{Q}}\setminus\{0\} - multimea numerelor rationale nenule;

7)\;\mathbb{R}7)\;\mathbb{R} - multimea numerelor reale;

8)\;{\mathbb{R}}^*={\mathbb{R}}\setminus\{0\}8)\;{\mathbb{R}}^*={\mathbb{R}}\setminus\{0\} - multimea numerelor reale nenule;

9)\;{\mathbb{R}}\setminus{\mathbb{Q}}9)\;{\mathbb{R}}\setminus{\mathbb{Q}} - multimea numerelor irationale;

10)\;\mathbb{C}=\{(a+bi)|{a,b}\in{\mathbb{R}},\;i^2=-1\}10)\;\mathbb{C}=\{(a+bi)|{a,b}\in{\mathbb{R}},\;i^2=-1\} - multimea numerelor complexe;

11)\;{\mathbb{C}}^*={\mathbb{C}}\setminus\{0\}11)\;{\mathbb{C}}^*={\mathbb{C}}\setminus\{0\} - multimea numerelor complexe nenule.

    Observatii:

    1)\;\mathbb{R}={\mathbb{Q}}\cup{({\mathbb{R}}\setminus{\mathbb{Q}})}.1)\;\mathbb{R}={\mathbb{Q}}\cup{({\mathbb{R}}\setminus{\mathbb{Q}})}.

    2)\;{\mathbb{N}}\subset{\mathbb{Z}}\subset{\mathbb{Q}}\subset{\mathbb{R}}\subset{\mathbb{C}}.2)\;{\mathbb{N}}\subset{\mathbb{Z}}\subset{\mathbb{Q}}\subset{\mathbb{R}}\subset{\mathbb{C}}.

    3) Orice numar real este un numar complex, deci multimea numerelor reale este parte (stricta!) a multimii numerelor complexe.

    Exemplu: 5 = 5 + 0·i.

    4) O multime M se numeste numarabila, daca exista o bijectie f:N - > M.


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