Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 23 Iulie, 2010

TEORIE

Aria domeniului plan (cuprins între curbele reprezentative ale graficelor funcţiilor

continue f şi g şi dreptele de ecuaţii x = a şi x = b):

\mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.\mathcal{A}({\Gamma}_{f,g})=\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|}{dx}.

Caz particular:

{g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}{g(x)=0}\Rightarrow{\mathcal{A}({\Gamma}_{f})=\int_{a}^{b}{|f(x)|}{dx}}

(aria domeniului plan cuprins intre curba reprezentativa a functiei f, axa absciselor si

dreptele de ecuatii x = a si x = b);

Volumul corpului de rotaţie (generat prin rotaţia completă a subgraficului funcţiei

continue f, definita pe [a,b] si cu valori in multimea numerelor reale nenegative,

in jurul axei absciselor): 

\mathcal{V}(C_{f})=\pi\cdot\int_{a}^{b}{f^2}{(x)}{dx};\mathcal{V}(C_{f})=\pi\cdot\int_{a}^{b}{f^2}{(x)}{dx};

(subgraficul functiei continue f este multimea punctelor din plan, cuprinse intre curba

reprezentativa a functiei f, axa absciselor si dreptele x = a si x = b).

Lungimea arcului de curbă (al graficului unei funcţii derivabile f definita pe [a,b] si cu

valori in R, cu derivata continua):

\mathcal{L}(f)=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+{[f\mathcal{L}(f)=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+{[f'(x)]}^{2}}}{dx}.

Aria suprafeţei de rotaţie

(generată prin rotaţia completă a curbei reprezentative a funcţiei derivabile f definita pe

[a,b] si cu valori in R, cu derivata continua):

\mathcal{A}(f)=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)}{\sqrt{1+{[f\mathcal{A}(f)=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)}{\sqrt{1+{[f'(x)]}^{2}}}{dx}.

Centrul de greutate: Coordonatele centrului de greutate G al placii omogene,

determinata de curbele reprezentative ale functiilor continue f si g definite pe [a,b] si cu

valori in R, f > g si dreptele x = a si x = b, sunt date de formulele:

x_G=\frac{\int_{a}^{b}{x[f(x)-g(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}}x_G=\frac{\int_{a}^{b}{x[f(x)-g(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}}

si 

y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{[{f^2}(x)-{g^2}(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}}}.y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{[{f^2}(x)-{g^2}(x)]}{dx}}{\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]}{dx}}}.

Observatii:

1) Numitorul celor doua fractii  reprezinta aria placii;

2) Daca f(x) > g(x) = 0 pentru orice xЄ[a,b], atunci placa este delimitata de curba

reprezentativa a functiei f, axa absciselor si dreptele de ecuatii x = a si x = b;

in acest caz avem: 

x_G=\frac{\int_{a}^{b}{xf(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}},x_G=\frac{\int_{a}^{b}{xf(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}},

si

y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{{f^2}(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}}}.y_G={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\int_{a}^{b}{{f^2}(x)}{dx}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}}}.

Inegalitatea Cauchy-Schwarz:

Daca f si g sunt functii continue definite pe [a,b] si cu valori in R, atunci:

{{|\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}|}}\leq{\sqrt{\int_{a}^{b}{f^2}(x){dx}}}\cdot{\sqrt{\int_{a}^{b}{g^2}(x){dx}}}.{{|\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}|}}\leq{\sqrt{\int_{a}^{b}{f^2}(x){dx}}}\cdot{\sqrt{\int_{a}^{b}{g^2}(x){dx}}}.

Observatie:

Egalitatea are loc daca g = 0 si f este arbitrara, sau daca f = c·g,

unde c este o constanta reala oarecare.

Inegalitatea lui Jensen:

Daca functiile

f:I - > J si g:J - > R sunt doua functii continue, iar 

  • g este convexa, atunci:

a)a) {g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\leq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx};{g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\leq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx};

  • g este concava, atunci:

b)b) {g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\geq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx}.{g({\frac{1}{b-a}}{\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}})}\geq{\frac{1}{b-a}}\int_{a}^{b}{g(f(x))}{dx}.

Observatie:

Egalitatea are loc in cazul cand f este constanta.

Inegalitatea lui Cebasev:

Fie functiile continue f si g, definite pe [a,b] si cu valori in R; atunci:

  • (\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot(\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot (\int_{a}^{b}{g(x)}{dx})(\int_{a}^{b}{g(x)}{dx}) \leq{(b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx}},\leq{(b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx}},

      (daca f si g prezinta aceeasi monotonie);

  • (\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot(\int_{a}^{b}{f(x)}{dx})\cdot (\int_{a}^{b}{g(x)}{dx})(\int_{a}^{b}{g(x)}{dx}) \geq\geq (b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx},(b-a)\int_{a}^{b}{(fg)(x)}{dx},

      (daca f si g prezinta monotonii diferite). 

Observatie:

Egalitatea are loc daca cel putin una dintre functiile f, g este constanta pe intervalul

[a,b], din care se exclude, eventual, o multime numarabila de numere reale.

(O multime M este numarabila daca exista o bijectie f:N - > M).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan