Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 18 Noiembrie, 2018

TEORIE

  • Numim putere naturala a unui numar natural orice numar de forma 
x^n=\begin{matrix}\underbrace{x\cdot{x}\cdots{x}}\\n\end{matrix},x^n=\begin{matrix}\underbrace{x\cdot{x}\cdots{x}}\\n\end{matrix},
unde x (baza puterii) si n (exponentul puterii) sunt numere naturale .
Intrucat x  = 1 pentru orice x nenul si 0ᵐ = 0 pentru orice m nenul, sunt cazuri banale, vom considera variantele in care x si m sunt nenuli .
Observatie : Operatia 0  nu are sens (se spune ca este operatie nedeterminata) .
  • In continuare se presupune ca sunt cunoscute operatiile cu puteri . 
  • In cele ce urmeaza va fi evidentiat un algoritm folosit pentru determinarea ultimei cifre a oricarei puteri naturale a unui numar natural .
Mai intai sa observam repetabilitatea ultimei cifre a puterilor naturale ale numerelor naturale 1,2,3,4,5,6,7,8,9 :
1ᵐ=1, pentru orice m natural
(ultima cifra constanta, anume 1).
2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64 samd ;
(ultima cifra se repeta din 4 in 4).
3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243 samd ;
(ultima cifra se repeta din 4 in 4).
4¹=4, 4²=16, 4³=64 samd ; 
(ultima cifra se repeta din 2 in 2).
5¹=55²=25 samd ; 
(ultima cifra constanta, anume 5).
6¹=6, 6²=36 samd ; 
(ultima cifra constanta, anume 6). 
7¹=7, 7²=49, 7³=343, 7⁴=2401, 7⁵=16807 samd ;
(ultima cifra se repeta din 4 in 4).
8¹=8, 8²=64, 8³=512, 8⁴=4096, 8⁵=32768 samd ;
(ultima cifra se repeta din 4 in 4). 
9¹=9, 9²=81, 9³=729 samd ; 
(ultima cifra se repeta din 2 in 2).

  • Fie numarul natural 
m=(\overline{{{abc}\cdots{x}}})^k=m=(\overline{{{abc}\cdots{x}}})^k= \overline{{{abc}\cdots{x}}}\overline{{{abc}\cdots{x}}} \cdot\cdot \overline{{{abc}\cdots{x}}}\overline{{{abc}\cdots{x}}} \cdots\cdots \overline{{{abc}\cdots{x}}},\;(k\;factori),\overline{{{abc}\cdots{x}}},\;(k\;factori),
unde a,b,c,...,x sunt cifre .
Notand cu u(m) ultima cifra a numarului m, se observa cu usurinta ca u(m) = u(xᵏ) .
Intrucat ultima cifra a puterii lui x se repeta (conform celor de mai sus), procedam ca in exemplele urmatoare :
1) Sa se afle ultima cifra a numarului 2018¹² .
Rezolvare:
u(2018¹²) = u(8¹²) = 6 , pentru ca 12 e multiplu de 4 . 
2) Sa se afle ultima cifra a numarului 2019¹³ . 
Rezolvare: 
u(2019¹³) = u(9¹³) = 9, pentru ca 13 este impar .
3)  Sa se afle ultima cifra a numarului 577² . 
Rezolvare: 
u(577²) = u(7²) = u(7³) = 3,
pentru ca 275=68x4+3  (puterile lui 7 se repeta din 4 in 4) .

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http://dirigentia.blogspot.ro/p/noi.html

http:// www.supermatematic

https://www.bursadefericire.ro/sms-8844-spital

Developed by Hagau Ioan