Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 10 Mai, 2014

TEORIE

Teorema:

Ecuatia diofantica liniara, ax + by = c (a,b,c - numere intregi nenule) are solutii intregi

daca si numai daca d = (a,b)|c (c.m.m.d.c. al numerelor a si b divide c).

In acest caz, multimea solutiilor este S = {(x,y)ЄZxZ|x = xo + kb, y = yo - ka, kЄZ},

unde (xo,yo) este o solutie particulara a ecuatiei, in ipoteza ca d = (a,b) = 1.

Demonstratie:

1) Direct:

Din ipoteza axo + byo = c, unde (xo,yo)ЄZxZ, rezulta imediat ca orice divizor comun

al numerelor a si b, divide c, adica (a,b)|c.

2) Reciproc:

Fie d un divizor comun al numerelor a si b, astfel incat

d|c, deci c = d·c', c'ЄZ. (1)

Se stie ca, in acest caz, exista doua numere intregi α si β, astfel incat 

aα + bβ = d; prin inmultire cu c', tinand cont de (1),

se obtine:

a(αc') + b(βc') = dc' < = > a(αc') + b(βc') = c, prin urmare (αc',βc') reprezinta o solutie

in ZxZ a ecuatiei diofantice ax + by = c.

Presupunem ca d = (a,b) = 1 ( a si b sunt prime intre ele) si fie (xo,yo) si (x,y) doua

solutii ale ecuatiei. Rezulta ca

(axo + byo = c) si (ax + by = c),

de unde, prin scadere, membru cu membru, se obtine:

a(x - xo) + b(y - yo) = 0 < = > a(x - xo) = -b(y - yo).

Intrucat  d= (a,b) = 1, rezulta imediat ca a|(y - yo) si -b|(x - xo).

Deci:

x = xo + kb, y = yo - ka, kЄZ.

Exemple:

1) Ecuatia diofantica 2x + 5y = 6, admite solutii intregi, intrucat

d = (2;5) = 1 si 1|6.

Cum perechea de numere intregi (-12;6) verifica ecuatia

(xo = -12, yo = 6) si a = 2, b = 5, avem imediat

S = {(-12 + 5k,6-2k)|kЄZ}.

2) Ecuatia diofantica 6x - 10y = 3 nu admite solutii (intregi) intrucat

d = (6;10) = 2 si d = 2 nu divide 3.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan