Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 10 Iunie, 2013

TEORIE

 

Puncte unghiulare:

Fiind data o functie f:(a,b) - > R si un punct xoЄ(a,b), astfel incat functia f este continua

in xonu este derivabila in xo, dar are derivate laterale diferite (cel putin una finita)

in xo, spunem ca

xo este punct unghiular al functiei f, 

M(xo ,f(xo)) este punct unghiular al reprezentarii grafice a functiei f,

respectiv

(xo ,f(xo))ЄGf  este punct unghiular al graficului functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R - > R, definita prin legea

f(x)=\begin{cases}1-x^2,\;x\in{(-\infty,1]}\\lnx,\;x\in{(1,\infty)}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}1-x^2,\;x\in{(-\infty,1]}\\lnx,\;x\in{(1,\infty)}\end{cases}.

Se constata usor ca functia f este continua in x = 1

(limita la stanga = limita la dreapta = f(1) = 0), insa f's(1) = -2 si f'd(1) = 1,

deci x=1 este punct unghiular al functiei f.

Desenul de mai jos prezinta sugestiv acest "comportament" al functiei f in x = 1:

Denumirea de "punct unghiular" are legatura cu unghiul format de cele doua
 
semitangente (d1) si (d2), construite in punctul de coordonate (1;0) al
 
reprezentarii grafice a functiei f, de pante -2, respectiv 1 (derivatele laterale in x = 1).

Puncte de intoarcere:

Fiind data o functie f:(a,b) - > R si un punct xoЄ(a,b), astfel incat functia f este

continua in xonu este derivabila in xo, dar are derivate laterale infinite si diferite

(+oo si -ooin xo, spunem ca xo este punct de intoarcere al functiei f, 

M(xo,f(xo)) este punct de intoarcere al reprezentarii grafice a functiei f,

respectiv

(xo,f(xo))ЄGf  este punct de intoarcere al graficului functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R - > R, definita prin legea:

f(x)=\sqrt{|x+2|}.f(x)=\sqrt{|x+2|}.  

Punctul x = -2 este punct de intoarcere al functiei f intrucat, evident, functia este

continua in x = -2, insa derivatele laterale in acest punct sunt infinite si diferite:

f^{f^{'}_s(-2)=lim_{x\nearrow{-2}}{({\sqrt{-x-2})}^{'}}=\cdots=-\infty   si

f^{f^{'}_d(-2)=lim_{x\searrow{-2}}{({\sqrt{x+2})}^{'}}=\cdots=+\infty

(pentru calculul derivatelor laterale s-a folosit o consecinta a teoremei lui Lagrange).

Iata si reprezentarea grafica a functiei f in vecinatatea punctului

x = -2:

Semitangenta (d), de ecuatie x = -2 (paralela cu Oy) nu are panta: pentru ramura 

din stanga a graficului (f'(x) < 0), -oo reprezinta limita derivatei la stanga, 

iar pentru ramura din dreapta a graficului (f'(x) > 0), +oo reprezinta limita

derivatei la dreapta.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan