Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 10 Iunie, 2013

TEORIE

Definitie:

Fiind data o functie derivabila f:(a,b) - > R, numim punct critic al functiei f orice

radacina reala xoЄ(a,b) a ecuatiei f'(x) = 0.

Exemplu:

Pentru functia derivabila

f:R -> R, f(x) = x² - 3x + 2,

avem:

f'(x) = 2x - 3 = 0 < = > x = 3/2,

deci

x = (3/2)ЄR este punct critic pentru f.

Puncte de extrem ale unei functii derivabile:

  • Fiind data o functie derivabila f:(a,b) - > R, un punct critic xoЄ(a,b) se numeste punct de minim al functiei f daca pe intervalul (a,xo) functia f este strict descrescatoare, iar pe intervalul (xo,b) functia f este strict crescatoare.

  •  Fiind data o functie derivabila f:(a,b) - > R, un punct critic xoЄ(a,b) se numeste punct de maxim al functiei f daca pe intervalul (a,xo) functia f este strict crescatoare, iar pe intervalul (xo,b) functia f este strict descrescatoare.

Observatie:

Punctul M(xo,f(xo)) se numeste

punct de minim (maxim) al reprezentarii grafice a functiei f,

iar cuplul (xo,f(xo)) se numeste

punct de minim (maxim) al graficului Gf.

  • Punctul xdin definitiile de mai sus se numeste

punct de extrem (maxim sau minim) al functiei f.

Puncte de inflexiune ale unei functii derivabila de doua ori:

Fiind data o functie de doua ori derivabila f:(a,b) - > R, numim

punct de inflexiune al functiei f orice radacina reala xoЄ(a,b) a ecuatiei f''(x) = 0,

astfel incat pe intervalul (a,xofunctia f este convexa (f"(x) > 0) , iar pe intervalul 

(xo,b) functia f este concava (f"(x) > 0) sau invers.

Exemplu:

Fie functia f:[0,π] - > R, f(x) = cosx; avem

f'(x) = -sinx si f"(x) = -cosx.

Ecuatia f"(x) = 0 are ca radacina xo = π/2 si

f"(x) < 0 pe [0,π/2), f"(x) > 0 pe (π/2,π],

deci xo = π/2 este punct de inflexiune al functiei f.

Observatie:

Ca si la punctele de extrem, avem denumirile de

punct de inflexiune al reprezentarii grafice a functiei f pentru M(xo,f(xo)),

respectiv

punct de inflexiune al graficului functiei f pentru cuplul (xo,f(xo))ЄGf.

Postat în: PUNCTE CRITICE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan