Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 21 Septembrie, 2012

TEORIE

Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi:

Fiind date doua numere intregi a si b, cu b nenul,

exista doua numere intregi q si r, unice, cu proprietatea:

a = bq + r, unde rЄ[0;|b|).

  • Egalitatea de mai sus se numeste identitatea impartirii cu rest pentru numere intregi, iar numerele q si r se numesc catul si respectiv restul impartirii numarului a la b.
  • Numarul a se numeste deimpartit, iar b se numeste impartitor.
  • Daca r = 0, se spune ca a este divizibil cu b (a este multiplu de b), sau ca b divide pe a (b este divizor al lui a); notatie: b|a.
  • Se verifica usor ca relatia de divizibilitate este relatie de ordine partiala (caci nu orice doua numere intregi sunt in relatie; ex 3 si 4) in multimea numerelor intregi nenegative (x|x, x|y si y|x = > x = y, x|y si y|z = >x|z).

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) pentru doua numere intregi a si b:

Este numit astfel un numar intreg d avand proprietatile:

  1. d|a si d|b (d este divizor comun al numerelor a si b);
  2. orice alt divizor comun d' al numerelor a si b divide d (adica (d'|a si d'|b = > d'|d)).

Teorema:

Fie a si b doua numere intregi.

Atunci exista exact doua numere intregi opuse, d si (-d), cu statut de c.m.m.d.c.

al numerelor a si b.

Observatie:

Numarul pozitiv dintre cele doua se noteaza (a;b), iar valoarea sa se calculeaza folosind

algoritmul lui Euclid.

Teorema:

Fie a si b doua numere intregi si d un c.m.m.d.c. al lor (oricare din cei doi).

Atunci exista doua numere intregi, k1 si k2astfel incat:

d = k1·a + k2·b.

Exemplu:

Daca -3 = (6;9), atunci exista numerele intregi -2 si 1, astfel incat:

-3 = (-2)·6 + 1·9.

Observatii:

  • Doua numere intregi a si b se numesc prime intre ele daca (a;b) = 1.
  • Deducem ca doua numere intregi a si b sunt prime intre ele daca si numai daca exista doua numere intregi, k1 si k2, astfel incat: 1 = k1·a + k2·b.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) pentru doua numere intregi a si b:

Este numit astfel un numar intreg m avand proprietatile:

  1. a|m si b|m (adica m este un multiplu comun al numerelor a si b);
  2. orice alt multiplu comun m' al numerelor a si b este multiplu al lui m               (adica a|m' si b|m' = > m|m'). 

Teorema:

Fie a si b doua numere intregi nenule. Daca d este un c.m.m.d.c. al numerelor a si b,

atunci numarul (intreg!) m = (a·b)/d este un c.m.m.m.c. al numerelor a si b.

Numere prime:

Se numesc astfel toate numerele naturale p > 1, care au exact patru divizori:

-1; +1; -p si +p.

Se spune ca un numar prim nu admite decat divizori improprii.

Un numar care admite si divizori proprii, este numit numar compus.

Exemplu:

Numarul 13 este prim, in timp ce 12 este compus.

Teorema fundamentala a aritmeticii:

Oricare ar fi numarul intreg a, astfel incat |a| > 1, exista o descompunere unica a sa

in produs finit de numere prime, adica exista numerele prime p1, p2, ... , pm,

nu neaparat distincte, astfel incat

n = p1· p2 ··· pm  

sau

n = - p1· p2 ··· pm.

Observatie:

In baza teoremei fundamentale a aritmeticii, se poate indica un alt procedeu de

calcul pentru:

  • c.m.m.d.c. pentru doua sau mai multor numere intregi:

Se descompun numerele in factori primi si se efectueaza produsul factorilor primi

comuni, fiecare cu exponentul sau cel mai mic;

  • c.m.m.m.c. pentru doua sau mai multor numere intregi:

Se descompun numerele in factori primi si se efectueaza produsul factorilor primi

comuni si necomuni, fiecare cu exponentul sau cel mai mare.

Observatie:

In mod obisnuit, orice numar natural n > 1 se scrie sub forma

n={{p_1}^{{\alpha}_1}}\cdot{{p_2}^{{\alpha}_2}}\cdots{{p_m}^{{\alpha}_m}},n={{p_1}^{{\alpha}_1}}\cdot{{p_2}^{{\alpha}_2}}\cdots{{p_m}^{{\alpha}_m}},

unde p1, p2, ... , pm sunt factorii sai primi distincti.

In baza acestei formule, se poate arata ca numarul total al divizorilor distincti si naturali (improprii si proprii) ai unui numar natural n (a carui descompunere in factori este mai sus) este data de formula:

Ν = (1+α1)·(1+α2)·(1+α3)···(1+αm


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan