Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 11 Mai, 2011

TEORIE

FORMA ALGEBRICA:

Multimea numerelor complexe sub forma algebrica se defineste astfel:

C = {z=a+bi|a,bЄR, i²=-1}.

Numarul a se numeste partea reala a numarului complex z (se noteaza Re(z)),

numarul b se numeste coeficientul partii imaginare a numarului complex z

(se noteaza Im(z)), iar i este unitatea imaginara

Punctul M(a,b), din planul raportat la reperul ortogonal xOy, se numeste

imaginea geometrica a numarului complex z = a + bi, iar z poarta numele de

afixul punctului M.

Se constata, cu usurinta, ca distanta de la origine la punctul M(a,b), este data de formula:

OM=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.OM=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Numarul |z|, astfel calculat, se numeste modulul numarului complex z.

Numarul a - bi, care se noteaza \overline{z}\overline{z} se numeste

conjugatul numarului complex z.

Operatiile algebrice de adunare, inmultire si ridicare la o putere naturala

se fac in mod obisnuit, tinandu-se cont, doar, de definitia unitatii imaginare: i² = -1.

Avem, evident: 

i^0=1\;(prin\;definitie),\;i^1=i,\;i^2=-1,\;i^3=-i,\;i^4=1;i^0=1\;(prin\;definitie),\;i^1=i,\;i^2=-1,\;i^3=-i,\;i^4=1;

in general:

i^n=\begin{cases}1,\;pentru\;n=4k,\;\\i,\;pentru\;n=4k+1,\\-1,\;pentru\;n=4k+2\;si\\-i,\;pentru\;n=4k=3.\end{cases},\forall{k}\in{\mathbb{N}}.i^n=\begin{cases}1,\;pentru\;n=4k,\;\\i,\;pentru\;n=4k+1,\\-1,\;pentru\;n=4k+2\;si\\-i,\;pentru\;n=4k=3.\end{cases},\forall{k}\in{\mathbb{N}}.

Impartirea a doua numere complexe se face dupa modelul:

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+{i}\cdot{\frac{bc-ad}{c^2+d^2}}.\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+{i}\cdot{\frac{bc-ad}{c^2+d^2}}.

(S-a amplificat fractia cu conjugatul numaratorului).

Observatie:

Orice numar real este un numar complex, avand coeficientul partii imaginare

egal cu 0 (a=a+0i); din acest motiv, planul raportat la reperul xOy se mai numeste

planul complex, axa Ox - axa reala (pe ea se reprezinta numai numerele reale),

iar axa Oy -  axa imaginara (pe ea se reprezinta numai numerele imaginare,

de forma bi).

FORMA TRIGONOMETRICA:

Multimea numerelor complexe sub forma trigonometrica se defineste astfel: 

{\mathbb{C}}=\{z=r(\cos{t}+i\sin{t}),\;r\geq{0},0\leq{t}<2\pi\}.{\mathbb{C}}=\{z=r(\cos{t}+i\sin{t}),\;r\geq{0},0\leq{t}<2\pi\}.

(Numarul nenegativ r se numeste modul, iar t se numeste argument redus).

Forma trigonometrica a unui numar complex nereal, cand se cunoaste

forma sa algebrica z = a + bi, unde a si b sunt numere reale, b nenul, este:

z= r(cost+isint),\;unde\;{r}=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}z= r(cost+isint),\;unde\;{r}=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}

este formula de calcul a modulului, iar argumentul sau redus t se calculeaza dupa

cum urmeaza:

I) Daca a este diferit de 0, atunci:

t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.

Distingem cazurile:

  • {{a,b}>0}\Rightarrow{k=0},\;deci\;t={arctg}{\frac{b}{a}};{{a,b}>0}\Rightarrow{k=0},\;deci\;t={arctg}{\frac{b}{a}};
  • {{{a<0},{b}}\in{\mathbb{{R}}^*}}\Rightarrow{k=1},\;deci\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{\pi};{{{a<0},{b}}\in{\mathbb{{R}}^*}}\Rightarrow{k=1},\;deci\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{\pi};
  • {{a > 0, b <0}\Rightarrow{ k = 2}},\;deci\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{2\pi}.{{a > 0, b <0}\Rightarrow{ k = 2}},\;deci\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{2\pi}.

II) Daca a = 0 si b > 0, atunci t = \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2};

     Daca a = 0  si b < 0, atunci t = \frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2};

     Daca a = b = 0, atunci z = 0 (t este nedeterminat).

OPERATII:

1) Inmultirea:

{r}_{1}(cos{{t}_{1}}+isin{{t}_{1}})\cdot{r}_{2}(cos{{t}_{2}}+isin{{t}_{2}})={r}_{1}(cos{{t}_{1}}+isin{{t}_{1}})\cdot{r}_{2}(cos{{t}_{2}}+isin{{t}_{2}})= {{r}_{1}}\cdot{{r}_{2}}{[cos{({t}_{1}+{t}_{2})}+isin{({t}_{1}+{t}_{2})}]}{{r}_{1}}\cdot{{r}_{2}}{[cos{({t}_{1}+{t}_{2})}+isin{({t}_{1}+{t}_{2})}]} \Rightarrow\Rightarrow \prod_{k=1}^{k=n}{{r}_{k}}{(cos{{t}_{k}}+isin{{t}_{k}})}=\prod_{k=1}^{k=n}{{r}_{k}}{(cos{{t}_{k}}+isin{{t}_{k}})}= \prod_{k=1}^{k=n}{{r}_{k}}\cdot[cos{(\sum_{k=1}^{k=n}{{t}_{k}})} +isin{(\sum_{k=1}^{k=n}{{t}_{k}})}];\prod_{k=1}^{k=n}{{r}_{k}}\cdot[cos{(\sum_{k=1}^{k=n}{{t}_{k}})} +isin{(\sum_{k=1}^{k=n}{{t}_{k}})}];

2) Puterea naturala a unui numar complex:

{[r(cos{t}+isin{t})]}^{n} = {r}^{n}{(cos{nt}+isin{nt})};{[r(cos{t}+isin{t})]}^{n} = {r}^{n}{(cos{nt}+isin{nt})};

3) Impartirea:

\frac{r\cdot(cos{t}+isin{t})}{\rho\cdot(cos{\tau}+isin{\tau})} =\frac{r}{\rho}\cdot[cos(t-\tau)+isin(t-\tau)];\frac{r\cdot(cos{t}+isin{t})}{\rho\cdot(cos{\tau}+isin{\tau})} =\frac{r}{\rho}\cdot[cos(t-\tau)+isin(t-\tau)];

4) Radacina de ordinul n dintr-un numar complex:

z = r(cost + isint), scris sub forma trigonometrica:

{z}_{k}=\sqrt[{n}]{{r}}\cdot(cos\frac{t+2k\pi}{n} + isin\frac{t + 2k\pi}{n}),\;unde\;{k}\in\{0,1,2,3,\cdots,n-1\}.{z}_{k}=\sqrt[{n}]{{r}}\cdot(cos\frac{t+2k\pi}{n} + isin\frac{t + 2k\pi}{n}),\;unde\;{k}\in\{0,1,2,3,\cdots,n-1\}.

5) Formula lui Moivre:

{(cos{\alpha}+{i}sin{\alpha})}^{n}=cos{n}{\alpha} +{i}sin{n}{\alpha}.{(cos{\alpha}+{i}sin{\alpha})}^{n}=cos{n}{\alpha} +{i}sin{n}{\alpha}.

6) Radacinile de ordinul n ale unitatii:

{\zeta}_{k}=cos{\frac{2k\pi}{n}}+isin{\frac{2k\pi}{n}} = {(cos{\frac{2\pi}{n}}+isin{\frac{2\pi}{n}})}^{k} ={\varepsilon}^{k},{\zeta}_{k}=cos{\frac{2k\pi}{n}}+isin{\frac{2k\pi}{n}} = {(cos{\frac{2\pi}{n}}+isin{\frac{2\pi}{n}})}^{k} ={\varepsilon}^{k},

unde numarul

\varepsilon=cos{\frac{2\pi}{n}}+isin{\frac{2\pi}{n}}\varepsilon=cos{\frac{2\pi}{n}}+isin{\frac{2\pi}{n}}

se numeste radacina primitiva a unitatii.

FORMA EXPONENTIALA:

Notand

z=cosx+isinx=e^{ix},z=cosx+isinx=e^{ix}, (1)

unde xЄ [0,2π) si i² = -1, se obtine, inlocuind pe x prin -x:

\bar{z}=cosx-isinx=e^{-ix}.\bar{z}=cosx-isinx=e^{-ix}. (2)

Din (1) si (2) rezulta imediat:

1)\;cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\;si\;sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}1)\;cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\;si\;sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} (formulele lui Euler).

2)\;z=r(cosx+isinx)=re^{ix},\;unde\;r=|z|\;si\;x=argz\in{[0;2\pi)}.2)\;z=r(cosx+isinx)=re^{ix},\;unde\;r=|z|\;si\;x=argz\in{[0;2\pi)}.  

3)\;z^n=r^n(cosnx+isinnx)=r^ne^{inx}.3)\;z^n=r^n(cosnx+isinnx)=r^ne^{inx}.

4)\;\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cosx_1+isinx_1)}{r_2(cosx_2+isinx_2)}={\frac{r_1}{r_2}}\cdot{\frac{e^{ix_1}}{e^{ix_2}}}={\frac{r_1}{r_2}}\cdot{e^{i(x_1-x_2)}}.4)\;\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cosx_1+isinx_1)}{r_2(cosx_2+isinx_2)}={\frac{r_1}{r_2}}\cdot{\frac{e^{ix_1}}{e^{ix_2}}}={\frac{r_1}{r_2}}\cdot{e^{i(x_1-x_2)}}.

5)\;cosx=\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{z^2+1}{2z},\;sinx=\frac{z-\bar{z}}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz},\;tgx=\frac{z^2-1}{i(z^2+1)},\;ctgx=\frac{i(z^2+1)}{z^2-1}.5)\;cosx=\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{z^2+1}{2z},\;sinx=\frac{z-\bar{z}}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz},\;tgx=\frac{z^2-1}{i(z^2+1)},\;ctgx=\frac{i(z^2+1)}{z^2-1}.

6)\;cosnx=\frac{z^{2n}+1}{2z^n},\;sinnx=\frac{z^{2n}-1}{2iz^n},\;tgnx=\frac{z^{2n}-1}{i(z^{2n}+1)},\;ctgnx=\frac{i(z^{2n}+1)}{z^{2n}-1}.6)\;cosnx=\frac{z^{2n}+1}{2z^n},\;sinnx=\frac{z^{2n}-1}{2iz^n},\;tgnx=\frac{z^{2n}-1}{i(z^{2n}+1)},\;ctgnx=\frac{i(z^{2n}+1)}{z^{2n}-1}.

Postat în: NUMERE COMPLEXE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Mate clasa a x-a numere complexe

Alin, 11.12.2016 11:41

Am o problema si chiar nu stiu cum s-o abordez... Fie Z Apartine C...Astfel incit (Z+i)^10 + (Z-I)^10 =0 ...sa se arate ca Z apartine R..... nu-I pot da de cap!?!?!?!?

Răspuns: Se poate folosi metoda reducerii la absurd: se presupune ca z este complex nereal, de forma z = a + bi , unde a si b sunt reali si b nenul, se fac calculele si trebuie sa se ajunga la o contradictie.

imagine geometrica

andreea, 22.11.2016 00:46

Imi explica cineva cum se face exercitiul acesta: Sa se determine imaginea geometrica in planul complex a numarului z=-5+2i? Nu am inteles cum se fac exercitiile de genul... Multumesc!

Răspuns: Imaginea geometrica este punctul M(-5;2). Numarul z = -5+2i se numeste afixul punctului M.

problema

ANDU, 02.09.2016 13:11

Buna ziua ,imi poate explica si mie cineva problema: Calculati partea reala a numarului complex (1+2i)^2 Multumesc!

Răspuns: Fie z = (1 + 2i)² = 1 + 4i - 4 = - 3 + 4i = > Re(z) = - 3.

partea imaginara

alex, 25.11.2015 21:08

partrtea imaginara a numarului z=(2+3i)/(3-2i) stie cineva?

Răspuns: Amplifici fractia cu 3+2i si obtii usor z = a + bi, unde a si b sunt nr reale si, de aici, scoti partea imaginara.

vreau sa stiu

otilia, 30.09.2015 18:37

Cum se rezolva acest exercitiu; sa se gaseasca toate numerele complexe ale caror patrate sa fie:i??

Răspuns: Fie (x+iy)² = i, cu x si y reali. Se ridica la patrat, se egaleaza coeficientii omologi, se obtine sistemul format din ecuatiile x²-y²=0 si 2xy=1 etc.

vrau sa invat

Mirela , 17.09.2015 21:03

nu stiu nimic din toate astea miar fi placut sa le pot intelege dar profu de mate nu prea ne invata mai nimic mai mult stateam si pierdiam timpul degeaba acum sunt la liceu si nu stiu nimic din ce ni se da . as vrea sa pot invata dar nu are cine sa ma ajute . off :(((

Răspuns: E normal sa nu intelegi continutul postarii despre "numere complexe"... Asa ceva vei intalni un pic mai tarziu, la liceu, unde abia ai intrat... Sunt sigur ca vei fi capabila, daca vei dori, sa depasesti cu bine dificultatile de intelegere a matematicii! Eu iti doresc mult succes!

valentin

tanase, 08.08.2014 11:21

Vreau sa ma alatur voua !

Răspuns: 0

numere complexe

pandele, 01.08.2013 11:46

un mod interesant si placut de prezentare

Răspuns: 0

mateee

Alex, 15.10.2012 17:43

Cat de frumoasa-i matematica cu demonstratiile ei...este super

Răspuns: 0

vreau sa invat matematica

petronela, 20.12.2011 20:01

of doamne daca as putea sa invat matematica bine ar fi

Răspuns: DAC? VREI, PO?I !!!

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan