Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 11 Mai, 2011

TEORIE

Definitia limitei finite a unui sir de numere reale:

Un numar real L este limita a unui sir (xn) daca orice vecinatate a lui L contine toti

termenii sirului, exceptând (eventual) un numar finit de termeni, sau, echivalent:

În afara oricarei vecinatati a lui L se afla (cel mult) un numar finit de termeni ai sirului.

Se spune, în acest caz, ca sirul este convergent la L.

Definitia limitei infinite a unui sir de numere reale:

1) Un sir (xn) are limita +oo, daca pentru orice M > 0, exista numarul natural k,

astfel incat xk > M.

Se spune, in acest caz, ca sirul este nemarginit la dreapta, sau ca sirul tinde la +oo;

2) Un sir (xn) are limita -oo, daca pentru orice M > 0, exista numarul natural k,

astfel incat xk < -M;

Se spune, in acest caz, ca sirul este nemarginit la stanga, sau ca sirul tinde la -oo.

Observatii:

  • Un sir care nu este convergent se numeste divergent;
  • Un sir convergent are o singura limita;
  • Orice subsir al unui sir convergent este convergent si are aceeasi limita;
  • Daca un sir contine doua subsiruri convergente catre limite diferite, atunci sirul este divergent;
  • Orice sir  convergent este marginit; deci orice sir nemarginit este divergent;
  • Orice sir monoton are limita finita, daca sirul este si marginit, sau infinita, daca sirul nu este marginit;
  • Un sir convergent nu este obligatoriu si monoton; exemplu:

(x_n),\;x_n={\frac{(-1)^n}{n}},(x_n),\;x_n={\frac{(-1)^n}{n}}, unde n este natural;

  • Orice sir periodic este divergent.

Teorema de convergenta:

Sirul (xn) este convergent la L daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista nεЄN, 

astfel incat pentru orice n mai mare sau egal cu nε : |xn - L|< ε.

Criteriul majorarii:

Daca

{|{x_n}-x|}\leq{y_n}\rightarrow{0},{|{x_n}-x|}\leq{y_n}\rightarrow{0},

atunci

{x_n}\rightarrow{x}.{x_n}\rightarrow{x}.

Teorema clestelui:

Daca 

{x_n}\leq{y_n}\leq{z_n}{x_n}\leq{y_n}\leq{z_n}

si

\lim{x}_{n}=\lim{z}_{n}=L,\lim{x}_{n}=\lim{z}_{n}=L,

atunci

{y}_{n}\rightarrow{L}.{y}_{n}\rightarrow{L}.

Teorema lui Weierstrass:

Orice sir monoton si marginit este convergent.

Lema Stolz-Césaro:

Fie sirurile (xn), si (yn), primul arbitrar, iar al doilea strict crescator si nemarginit,

iar yn nenul oricare ar fi n natural.

Daca exista

L=\lim\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n}}{{y}_{n+1}-{y}_{n}},L=\lim\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n}}{{y}_{n+1}-{y}_{n}},

atunci: 

\lim\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}=\lim\frac{\quad{x}_{n+1} - {x}_{n}}{\quad{y}_{n+1}-{y}_{n}} = L.\lim\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}=\lim\frac{\quad{x}_{n+1} - {x}_{n}}{\quad{y}_{n+1}-{y}_{n}} = L.

Criteriul Cauchy-d'Alembert (criteriul radacinii):

Fie sirul (xn), cu xn > 0, oricare ar fi n natural nenul.

Daca exista  

\lim{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=L,\lim{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=L,

atunci: 

\lim\sqrt[n]{x}_{n}=\lim\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=L.\lim\sqrt[n]{x}_{n}=\lim\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}=L.

Criteriul raportului: 

Fie sirul (xn), cu xn > 0, oricare ar fi nЄN*. Daca

lim_{n{\rightarrow}{+\infty}}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=Llim_{n{\rightarrow}{+\infty}}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=L

si

1) L < 1, atunci lim(xn) = 0

2) L > 1, atunci lim(xn) = +oo.

Observatie:

Daca L=1, nu se poate preciza nimic despre sirul (xn); trebuie efectuate alte abordari.

Recurenta liniara (de ordinul al doilea):

Orice sir (xn), nЄN*, definit prin xn+2 = a·xn+1 + b·xn,

cu x1, x2 numere reale fixate, iar a si b numere reale date.

Ecuatia r² - ar - b = 0 se numeste ecuatia caracteristica asociata recurentei.

Se disting urmatoarele cazuri:

1) Δ > 0, cand ecuatia caracteristica are radacinile reale si distincte, anume r1 si r2 .

Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma:

{x}_{n} = {c}\cdot{{r}_{1}}^{n}+{d}\cdot{{r}_{2}}^{n},{x}_{n} = {c}\cdot{{r}_{1}}^{n}+{d}\cdot{{r}_{2}}^{n},

unde constantele c si d se obtin rezolvand sistemul:

\begin{cases}c\cdot{{r}_{1}}^{1}+d\cdot{{r}_{2}}^{1}={x}_{1}\\c\cdot{{r}_{1}}^{2}+d\cdot{{r}_{2}}^{2}={x}_{2}\end{cases}\begin{cases}c\cdot{{r}_{1}}^{1}+d\cdot{{r}_{2}}^{1}={x}_{1}\\c\cdot{{r}_{1}}^{2}+d\cdot{{r}_{2}}^{2}={x}_{2}\end{cases}

(sistem cu necunoscutele c si d).

2) Δ= 0, cand ecuatia caracteristica are radacinile reale si egale, anume r1 = r2 = r.

Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma:

{x}_{n} = (c + nd)\cdot{r}^{n},{x}_{n} = (c + nd)\cdot{r}^{n},

unde constantele c si d se afla ca la cazul anterior.

3) Δ < 0, cand ecuatia caracteristica are radacinile complexe nereale si conjugate,

anume r1,2 = ρ·(cost ± isint).

Termenul general al sirului, care verifica recurenta, se scrie sub forma:

{x}_{n} = c\cdot{Im}({{r}_{1}}^{n})+d\cdot{Re}({{r}_{2}}^{n}),{x}_{n} = c\cdot{Im}({{r}_{1}}^{n})+d\cdot{Re}({{r}_{2}}^{n}), unde\;{Im}({{r}_{1}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\sin{nt}\,{ si}\,{ Re}({{r}_{2}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\cos{nt}.unde\;{Im}({{r}_{1}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\sin{nt}\,{ si}\,{ Re}({{r}_{2}}^{n})={\rho}^{n}\cdot\cos{nt}.

Limite remarcabile:

1)\;\lim{n^k}{a^n}=0,\;unde\;k\in{\mathbb{N}},\;constant\;si\;|a|<1.1)\;\lim{n^k}{a^n}=0,\;unde\;k\in{\mathbb{N}},\;constant\;si\;|a|<1.

2)\;\lim{{x_n}\cdot{y_n}}=0,\;daca\;\lim{x_n}=0\;si\;{y_n}\;este\;marginit.2)\;\lim{{x_n}\cdot{y_n}}=0,\;daca\;\lim{x_n}=0\;si\;{y_n}\;este\;marginit.

3)\;\lim{\frac{sin{x_n}}{x_n}}=1,\;daca\lim{x_n}=0.3)\;\lim{\frac{sin{x_n}}{x_n}}=1,\;daca\lim{x_n}=0.

4)\;\lim{\frac{tg{x_n}}{x_n}}=1,\;daca\;\lim{x_n}=0.4)\;\lim{\frac{tg{x_n}}{x_n}}=1,\;daca\;\lim{x_n}=0.

5)\;\lim{\frac{a^{x_n}-1}{x_n}}={lna},\;daca\;\lim{x_n}=0,\;a>05)\;\lim{\frac{a^{x_n}-1}{x_n}}={lna},\;daca\;\lim{x_n}=0,\;a>0

6)\;\lim\sqrt[n]{n}=1.6)\;\lim\sqrt[n]{n}=1.

7)\;\lim\sqrt[n]{a} =1,\;a>0.7)\;\lim\sqrt[n]{a} =1,\;a>0.

8)\;\lim{q^n} =\begin{cases}{1}, q=1\\{\infty}, q >1\\{0}, - 1< q < 1\\\not\exists, q\leq{-1}\end{cases}.8)\;\lim{q^n} =\begin{cases}{1}, q=1\\{\infty}, q >1\\{0}, - 1< q < 1\\\not\exists, q\leq{-1}\end{cases}.     

9)\;\lim{({1 + \frac{1}{n}})^{n}}=e.9)\;\lim{({1 + \frac{1}{n}})^{n}}=e.

(sirul numarului e = 2,7182..., numar irational).

10)\;\lim_{{x_n}\rightarrow{{\pm}{\infty}}}{{(1+\frac{1}{x_n})}^{x_n}}=e.10)\;\lim_{{x_n}\rightarrow{{\pm}{\infty}}}{{(1+\frac{1}{x_n})}^{x_n}}=e.

11)\;\lim_{{x_n}\rightarrow{0}}{(1+{x_n})}^{\frac{1}{{x}_{n}}}= e.11)\;\lim_{{x_n}\rightarrow{0}}{(1+{x_n})}^{\frac{1}{{x}_{n}}}= e.

12)\;\lim(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!})=e.12)\;\lim(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!})=e.

13)\;\lim{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-lnn)}=c.13)\;\lim{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-lnn)}=c.

(n € N*, c = 0,5772156649... - constanta lui Euler, numar irational).

14)\;\lim(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}) = +\infty.14)\;\lim(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}) = +\infty.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan