Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 21 Iulie, 2010

TEORIE

Forma canonica:

f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},

unde akЄC, 0 < k < n - 1, anЄC*, iar an, n, ao si X sunt, respectiv,

coeficientul dominant, gradul polinomului, termenul liber si nedeterminata polinomului f.

Definitii si proprietati:

  • Polinomul f = a (numar real nenul) se numeste polinom constant si gradul sau este egal cu zero, iar polinomul f = 0 (in care toti coeficientii sunt nuli), se numeste polinomul nul, gradul sau fiind, prin definitie, egal cu -oo.

  • Un numar complex a se numeste radacina a polinomului f sau

a ecuatiei algebrice f(x) = 0, daca f(a) = 0.

  • Se spune ca x0 din C este o radacina multipla de ordinul p

pentru polinomul f daca

{(X-x_{\circ})}^{p}|{f}\;si\;{(X-x_{\circ})}^{p+1}\not|{f}.{(X-x_{\circ})}^{p}|{f}\;si\;{(X-x_{\circ})}^{p+1}\not|{f}.

  • Functia

\tilde{f}:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}},\;\tilde{f}{(x)}=f(x),\;\forall{x}\in{\mathbb{C}},\tilde{f}:{\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}},\;\tilde{f}{(x)}=f(x),\;\forall{x}\in{\mathbb{C}},

se numeste functie polinomiala asociata polinomului f.

  • Fie f,g€C[X]. Se spune ca polinomul

f este divizibil cu polinomul g daca exista un polinom h cu coeficienti complecsi,

astfel incat f = gh.

Teorema lui Bézout:

Fie f€C[X] un polinom nenul (cu coeficienti complecsi si nedeterminata X) si a un

numar complex. Atunci a este o radacina a polinomului f daca si numai daca (X-a)|f.

Teorema fundamentala a algebrei (D'Alembert-Gauss):

Orice ecuatie algebrica de gradul n, n mai mare sau egal cu 1, admite, cel putin,

o radacina complexa.

Consecinte:

  • O ecuatie algebrica de gradul n admite exact n radacini complexe;
  • Polinomul f are gradul n, mai mare sau egal cu 1, daca si numai daca 

f = an(x - x1)(x - x2) ... (x - xn), unde xk, k = 1, 2, ... , n, 

sunt cele n radacini (distincte sau nu) ale polinomului f.

Relatiile lui Viète:

Fie polinomul f cu coeficienti complecsi si nedeterminata X, de gradul n,

f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{a_n}\neq{0},f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0},\;{a_n}\neq{0},

si

{x_k},\;{1}\leq{k}\leq{n}{x_k},\;{1}\leq{k}\leq{n}

radacinile sale; atunci:

\begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},\begin{cases}\sum{x_1}= -\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},

unde prin

\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}

s-a notat suma tuturor produselor celor i radacini ale polinomului f,  i = 1, 2, 3, ... , n.

Observatie:

Daca se noteaza cu S, S, S,..., Ssumele din relatiile lui Viète, atunci ecuatia

algebrica, ale carei radacini sunt x, x, x,..., xn, are urmatorul aspect:

x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.  

Cazuri particulare:

  • Ecuatia de gradul al doilea:  x² - S·x + P = 0.
  • Ecuatia de gradul al treilea:  x³ - S1·x² + S2·x - S3 = 0.

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan