Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 19 Iunie, 2010

TEORIE

Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi: 

Fiind dat un numar natural n, nenul, pentru orice numar intreg k exista numerele unice

q (intreg) si r (natural, mai mic decat n), astfel incat a = nq + r. 

Observatii:

1) Numarul q este catul, iar r este restul impartirii numarului a la n.

2) Notatie: r = a(mod n); se citeste "a modulo n" si r se numeste

redusul modulo n al numarului a.

3) Imaginandu-ne ca impartim toate numerele intregi la n, este evident ca resturile obtinute sunt mai mari sau egale cu 0 (in cazul multiplilor lui n), dar mai mici, cel mult egale cu n - 1; deci exista exact n tipuri de numere intregi, care se constituie in n submultimi, disjuncte 2 cate 2, a caror reuniune formeaza multimea Z (se spune ca se defineste astfel o partitie a multimii numerelor intregi).

In cazul particular n = 5, se noteaza astfel:

\hat{0}=\{...-10,-5,0,5,10...\}=\{5k|k\in{\mathbb{Z}}\},\hat{0}=\{...-10,-5,0,5,10...\}=\{5k|k\in{\mathbb{Z}}\},

\hat{1}=\{...-9,-4,1,6,11...\}=\{5k+1|k\in{\mathbb{Z}}\},\hat{1}=\{...-9,-4,1,6,11...\}=\{5k+1|k\in{\mathbb{Z}}\},

\hat{2}=\{...-8,-3,2,7,12...\}=\{5k+2|k\in{\mathbb{Z}}\},\hat{2}=\{...-8,-3,2,7,12...\}=\{5k+2|k\in{\mathbb{Z}}\},

\hat{3}=\{...-7,-2,3,8,13...\}=\{5k+3|k\in{\mathbb{Z}}\},\hat{3}=\{...-7,-2,3,8,13...\}=\{5k+3|k\in{\mathbb{Z}}\},

\hat{4}=\{...-6,-1,4,9,14...\}=\{5k+4|k\in{\mathbb{Z}}\}.\hat{4}=\{...-6,-1,4,9,14...\}=\{5k+4|k\in{\mathbb{Z}}\}.

4) In general, pentru un n oarecare, submultimile respective sunt:

\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n - 1},\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n - 1},

ele continand toate numerele intregi de forma

nk, nk + 1, nk + 2, ... , respectiv nk + (n - 1),

unde k parcurge multimea Z.

5) Multimile

\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n-1},\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n-1},

se numesc clase de resturi modulo nnumerele 0, 1, 2, 3, ... , (n-1) fiind numite

reprezentantii canonici ai multimilor respective

(sunt cele mai mici numere naturale, cel mult egale cu n-1, din multimile respective).

Pentru multimea claselor de resturi modulo n se foloseste notatia:

\mathbb{Z}_n=\{\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n-1}\}.\mathbb{Z}_n=\{\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n-1}\}.

sau:

{\mathbb{Z}}/{n{\mathbb{Z}}}=\{\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n-1}\}{\mathbb{Z}}/{n{\mathbb{Z}}}=\{\hat{0},\;\hat{1},\;\hat{2},\;\cdots,\widehat{n-1}\}

(multimea cat Z/nZ).

6) In locul unui reprezentant canonic se poate folosi orice alt numar intreg din

clasa respectiva; de pilda, in multimea

\mathbb{Z}_7,\;putem\; scrie\;\hat{5}=\hat{12},\mathbb{Z}_7,\;putem\; scrie\;\hat{5}=\hat{12},

pentru ca este vorba despre reprezentarea aceleasi multimi

(a numerelor intregi care dau acelasi rest 5 prin impartire la 7).

7) De retinut:

{\hat{a}=\hat{b}}\Leftrightarrow{a}\equiv{b}(mod\; n)\Leftrightarrow{\exists{k}\in{\mathbb{Z}},\;astfel\;incat\;a-b=nk.}{\hat{a}=\hat{b}}\Leftrightarrow{a}\equiv{b}(mod\; n)\Leftrightarrow{\exists{k}\in{\mathbb{Z}},\;astfel\;incat\;a-b=nk.}

(se citeste a congruent cu b modulo n, acest lucru insemnand ca

a si b dau acelasi rest prin impartire la n).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

clase de resturi modulo n

luminita, 06.12.2016 20:14

cum se rezolva asta :Sa se calculeze suma1^+2^+3^+......In Z22,Z31,Z40=

Răspuns: Formulare confuza...

Proprietate clase de resturi in functie de paritate

Daniel, 12.04.2016 13:46

Exista vreo proprietate a multimilor cum ar fi Z7,Z9,etc.? Am inteles ca multimile cu n impar sunt grupuri cu inmultirea.Zic bine?

Răspuns: Da, pentru modul numar PRIM ! Un inel (Zp,+,x), cu p prim, este corp.

Tabel clase de resturi

Irina, 26.01.2015 21:24

In legatura cu tabelul ala pe care-l poti face,de ex. ne aflam in Z6 si vreau sa aflu elementele inversabile.Cum il fac? Legea e inmultirea sau adunarea?Poate fi si impartirea?

Răspuns: Se numesc "elemente inversabile" in raport cu inmultirea si "elemente opuse' in raport cu adunarea. Operatia de "impartire" nu este definita in multimea claselor de resturi...

mersi

cornel, 28.06.2013 22:12

multumesc mult pentru explicatii . faci o treaba grozava si ajuti multi elevi inclusiv pe mine merci mult:))

Răspuns: Cu multa placere! Ma bucur sa aflu ca munca mea nu este in zadar!

Auzi..

caddy, 17.01.2013 17:27

Frate, exista termeni negativi? gen -4 clasa?

Răspuns: Calificativele "pozitiv" si "negativ" sunt atribuite doar numerelor reale ( desigur, in matematica; exista si personaje "pozitive"/"negative", dar nu despre acestea e vorba aici! ;) ) Cat despre clase de resturi, aici e vorba de "opusul clasei lui 4" , care se noteaza, intradevar, cu ajutorul semnului "-" si care inseamna acel element ce, adunat cu 4 (clasa), da elementul neutru fata de modulul ales. Asa stau lucrurile, FRATE !!! ;))

resturi

calin, 08.08.2012 07:38

Complicat tare! Mai simplu nu se poate explica?

Răspuns: :) Nu cred! Asta e! Un minim efort pentru intelegere este, totusi, necesar! Nu si suficient, insa, pentru abordarea diverselor exercitii!

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan