Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 17 Aprilie, 2011

SUBSTITUTII UZUALE

  • Integrarea functiilor de forma

R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),

unde R este o functie rationala de doua variabile, beneficiaza de substitutiile

\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,

in urma carora se obtin functii rationale in t, cu rezolvari bazate pe descompunere in

fractii simple, sau, uneori, chiar directe.

  • Integrarea functiilor de forma

R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})

se face folosind substitutii (substitutiile lui Euler) in functie de valorile coeficientilor

a, b si c, anume:

1) Daca a > 0, se face substitutia:

\sqrt{ax^2+bx+c}={x\sqrt{a}}\pm{t}.\sqrt{ax^2+bx+c}={x\sqrt{a}}\pm{t}.

2) Daca c > 0, se foloseste substitutia:

\sqrt{ax^2+bx+c}={xt}\pm{\sqrt{c}}.\sqrt{ax^2+bx+c}={xt}\pm{\sqrt{c}}.

3) Daca a < 0 si ecuatia ax² + bx + c = 0 are radacini reale si distincte x1 si x2,

se foloseste substitutia:

\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1).\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1).

  • Integrarea functiilor de forma 

R(x,\sqrt{a^2-x^2})R(x,\sqrt{a^2-x^2})

se face cu ajutorul substitutiei:

x = a·sint.

  • Integrarea functiilor rationale de forma

R(x,\sqrt{a^2+x^2})R(x,\sqrt{a^2+x^2})

se face cu ajutorul substitutiei:

x = a·sht.

  • Integrarea functiilor de forma 
R(x,\sqrt{x^2-a^2})R(x,\sqrt{x^2-a^2})

se face cu ajutorul substitutiei:

x = a·cht.

  • Integrarea functiilor de forma R(sinx,cosx,tgx,ctgx)

se face cu ajutorul substitutiei  tg{\frac{x}{2}}=t.tg{\frac{x}{2}}=t.

  • Integrale binome, de forma

\int{x^m(a+bx^n)^p}{dx},\int{x^m(a+bx^n)^p}{dx},

unde a si b sunt numere reale, iar m, n si p sunt numere rationale.

Matematicianul rus P. L. Cebâşev (1821-1894) a demonstrat ca aceste integrale se pot

reduce la integrale de functii rationale numai in cazul cand numerele

p,\;sau\;\frac{m+1}{n},\;sau\;(p+\frac{m+1}{n})p,\;sau\;\frac{m+1}{n},\;sau\;(p+\frac{m+1}{n})

sunt numere rationale; in caz contrar, calculul acestor integrale nu poate fi facut prin

mijloace elementare.

Distingem urmatoarele cazuri favorabile:

1) Daca p este intreg: integrala devine o suma de integrale de puteri cu exponent

rational.

2)\;Daca\;{\frac{m+1}{n}}\in{\mathbb{Z}}\;si\;p=\frac{s}{r},2)\;Daca\;{\frac{m+1}{n}}\in{\mathbb{Z}}\;si\;p=\frac{s}{r},

unde s si r sunt intregi, r nenul, se foloseste substitutia

t=\sqrt[r]{a+bx^n}t=\sqrt[r]{a+bx^n}

si se obtine integrala unei functii rationale in t.

3)\;Daca\;(\frac{m+1}{n}+p)\in{\mathbb{Z}},3)\;Daca\;(\frac{m+1}{n}+p)\in{\mathbb{Z}},

se face substitutia

t=\sqrt[r]{\frac{a+bx^n}{x^n}}t=\sqrt[r]{\frac{a+bx^n}{x^n}}

si se obtine integrala unei functii rationale in t.

Observatie:

Exista integrale ce nu pot fi exprimate sub forma finita prin functii elementare.

Din aceasta categorie fac parte unele integrale avand o forma aparent simpla,

ca de exemplu:

\int{e^{-x^2}}{dx},\;\int{\frac{sinx}{x}}{dx},\;\int{\frac{cosx}{x}}{dx},\;\int{sinx^2}{dx},\;\int{cosx^2}{dx},\;\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}}{dx},\;\int{\frac{1}{\sqrt{cosa-cosx}}}{dx}\;etc.\int{e^{-x^2}}{dx},\;\int{\frac{sinx}{x}}{dx},\;\int{\frac{cosx}{x}}{dx},\;\int{sinx^2}{dx},\;\int{cosx^2}{dx},\;\int{\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}}{dx},\;\int{\frac{1}{\sqrt{cosa-cosx}}}{dx}\;etc.

Evaluarea unor asemenea integrale se bazeaza pe

dezvoltarea in serie a functiei respective; evident, se obtin

evaluari aproximative a integralelor respective, determinarea erorilor inerente avand

un rol important in astfel de calcule.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

substitutii euler

mircea, 02.12.2016 14:07

ce e sht si cht ?

Răspuns: sh = sinus hiperbolic, ch = cosinus hiperbolic. Vezi aici: http://www.profesoronline.ro/functii_speciale/

substituti euler

chirita aurel, 02.08.2016 17:34

prezentati exemple

Răspuns: Exemple pot fi consultate in exercitiile care urmeaza dupa teorie. P.S.: Apreciez mult sugestia imperativa "prezentati exemple" !!!

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan