Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 04 Februarie, 2012

SISTEME DE ECUATII LINIARE-teorie

Sisteme de 2 ecuatii cu 2 necunoscute.

$\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases},$ \begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}, unde a,b,c,d,e,f sunt numere reale.

Presupunand ca toti coeficientii necunoscutelor sunt nenuli (in caz contrar se obtin

sisteme particulare cu rezolvare mult simplificata) si ca ecuatiile nu sunt contradictorii

si, de asemenea, una din ele nu se obtine din cealalta prin inmultire cu un numar

nenul, avem la dispozitie 2 metode de rezolvare:

1) Metoda reducerii (a combinatiilor liniare):

Se inmultesc ecuatiile cu numere convenabil alese, incat prin adunarea acestora, sa se

reduca una din necunoscute; se obtine o ecuatie de gradul I cu o necunoscuta, se afla

valoarea necunoscutei respective, se inlocuieste in una din ecuatiile initiale si se afla

valoarea celeilalte necunoscute.

Exemplu:

$\begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.$ \begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.

Inmultim prima ecuatie cu 3, a doua cu 2 si sistemul devine:

$\begin{cases}9x-6y=-3\\4x+6y=16\end{cases}.$ \begin{cases}9x-6y=-3\\4x+6y=16\end{cases}.

Adunand ecuatiile obtinem 13x = 13, deci x = 1.

Inlocuim, de pilda, in a 2-a ecuatie din sistemul initial si obtinem:

2 + 3y = 8 < = > 3y = 6 < = > y = 2.

Deci solutia sistemului este S = {(1;2)}.

2) Metoda substitutiei:

$\begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.$ \begin{cases}3x-2y=-1\\2x+3y=8\end{cases}.

Se exprima, dintr-una din ecuatii, o necunoscuta in functie de cealalta, se inlocuieste

in a doua ecuatie, se obtine o ecuatie cu o singura necunoscuta si se procedeaza,

apoi, ca la prima metoda.

Din ecuatia a doua avem y = (8 - 2x)/3, inlocuim in prima ecuatie si se obtine:

3x - 2(8 - 2x)/3 = - 1 < = > 9x - 16 + 4x = - 3 < = > 13x = 13 etc.

3) Regula lui Cramer:

Fie sistemul liniar:

$\begin{cases}ax+by=c\\a^{$ \begin{cases}ax+by=c\\a^{'}x+b^{'}y=c^{'}\end{cases}.

Solutia sistemului este data de formulele lui Cramer:

$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\;si\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\;unde\;\Delta\not={0}$ x=\frac{\Delta_x}{\Delta}\;si\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\;unde\;\Delta\not={0}

in care s-au folosit notatiile:

$\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a^{$ \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a^{'}&b^{'}\end{vmatrix}=ab^{'}-a^{'}b (determinantul sistemului)

$\Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c^{$ \Delta_x=\begin{vmatrix}c&b\\c^{'}&b^{'}\end{vmatrix}=cb^{'}-c^{'}b (determinantul asociat necunoscutei x),

$\Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a^{$ \Delta_y=\begin{vmatrix}a&c\\a^{'}&c^{'}\end{vmatrix}=ac^{'}-a^{'}c (determinantul asociat necunoscutei y).

Observatii:

1) Dupa numarul de solutii, sistemul poate fi:

compatibil determinat (admite solutie unica, dreptele reprezentative sunt concurente) daca si numai daca determinantul sistemului este nenul;
compatibil nedeterminat (admite o infinitate de solutii, dreptele reprezentative sunt confundate), daca determinantul sistemului este nul si ecuatiile sunt echivalente (se pot aduce la aceeasi forma);
incompatibil (nu admite solutii, dreptele sunt paralele), daca determinantul sistemului este nul si ecuatiile nu sunt echivalente.

2) Regula lui Cramer va fi generalizata la nivel de liceu, pentru sisteme liniare formate din n ecuatii cu n necunoscute.

Postat în SISTEME DE ECUATII-gimnaziu

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu