Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 11 Ianuarie, 2009

TEORIE

Definitii:

1) Fie A = (aij)ЄMmn(C) si numerele complexe b1,b2,..., bm.

Sistemul de ecuatii de forma

\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute.

2) Matricea A se numeste matricea sistemului, sau matricea coeficientilor

sistemului.

3) Numerele  b1, b2, ... , bse numesc termenii liberi; matricea

{B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}{B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}

se numeste matricea coloana a termenilor liberi, iar matricea, notata

\bar{A}\;sau\;{A/B},\bar{A}\;sau\;{A/B},

care se obtine din matricea sistemului prin bordare la dreapta cu coloana

termenilor liberi, deci:

\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),

se numeste matricea extinsa a sistemului.

4) Daca matricea B este nula, atunci sistemul se numeste sistem omogen.

5) Cu notatiile de mai sus, ecuatia A·X = B, adica

\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),

poarta numele de forma matriciala a sistemului liniar.

Metoda matriciala (de rezolvare a unui sistem liniar, format din n ecuatii cu n necunoscute, la care matricea sistemului este nesingulara (nedegenerata)):

A·X = B <=> X={{A}^{-1}}\cdot{B}.X={{A}^{-1}}\cdot{B}.

Metoda lui Cramer (de rezolvare a unui sistem liniar, format din n ecuaţii cu

n necunoscute, la care matricea sistemului este nesingulară (nedegenerată)):

{x_k}=\frac{\Delta{x_k}}{\Delta},\;unde\;\Delta\neq{0}\;reprezinta\;{det(A)}\neq{0},\;iar{x_k}=\frac{\Delta{x_k}}{\Delta},\;unde\;\Delta\neq{0}\;reprezinta\;{det(A)}\neq{0},\;iar  

{\Delta}{x_k}, {k}\in\begin{Bmatrix}1, 2,\cdots ,n\end{Bmatrix}{\Delta}{x_k}, {k}\in\begin{Bmatrix}1, 2,\cdots ,n\end{Bmatrix}

reprezinta determinantul obtinut din det(A) prin inlocuirea coloanei k

prin coloana termenilor liberi.

Teorema Kronecker-Capelli:

Un sistem liniar, format din m ecuatii cu n necunoscute, este compatibil (adica admite solutii), daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

  • Rangul unei matrice este cel mai mare dintre ordinele minorilor nenuli ai matricei date; daca matricea este nula, atunci rangul ei este egal cu 0.

Teorema lui Rouché:

Un sistem liniar, format din m ecuatii cu n necunoscute, este compatibil, daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

  • Minorul care da rangul r al matricei sistemului, se numeste minor principal;
  • Necunoscutele si ecuatiile care au coeficienti in minorul principal se numesc necunoscute, respectiv ecuatii principale, iar toate celelalte necunoscute secundare, respectiv ecuatii secundare;
  • Cei (m-r) minori, obtinuti prin bordarea minorului principal cu o linie formata din coeficientii necunoscutelor principale din ecuatiile secundare si cu coloana termenilor liberi, se numesc minori caracteristici, numarul acestora fiind, evident, egal cu numarul de ecuatii secundare;
  • Daca sunt m ecuatii cu n necunoscute, iar rangul matricei sistemului este r, atunci r\leq{min}{(m,n)},r\leq{min}{(m,n)},
  • Numarul necunoscutelor principale = numarul ecuatiilor principale = r, 
  • Numarul ecuatiilor secundare = numarul minorilor caracteristici = (m-r),
  • Numarul necunoscutelor secundare = (n-r).

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 

http:// www.supermatematic


Developed by Hagau Ioan