Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 11 Ianuarie, 2009

TEORIE

Definitii:

1) Fie A = (aij) € Mmn (C) si numerele complexe b1, b2, ... , bm.

Sistemul de ecuatii de forma

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute.

2) Matricea A se numeste matricea sistemului, sau matricea coeficientilor sistemului;

3) Numerele b1, b2, ... , bm se numesc termenii liberi; matricea

${B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}$ {B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}

se numeste matricea coloana a termenilor liberi, iar matricea, notata

$\bar{A}\;sau\;{A/B},$ \bar{A}\;sau\;{A/B}, care se obtine din matricea sistemului prin bordare la

dreapta cu coloana termenilor liberi, deci

$\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),$ \bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),

se numeste matricea extinsa a sistemului;

4) Daca matricea B este nula, atunci sistemul se numeste sistem omogen.

5) Cu notatiile de mai sus, ecuatia A · X = B, adica

$\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),$ \left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),

poarta numele de forma matriciala a sistemului liniar.

Metoda matriciala (de rezolvare a unui sistem liniar, format din n ecuatii cu n

necunoscute, la care matricea sistemului este nesingulara (nedegenerata)):

A · X = B <=> $X={{A}^{-1}}\cdot{B}.$ X={{A}^{-1}}\cdot{B}.

Metoda lui Cramer (de rezolvare a unui sistem liniar, format din n ecuaţii cu n

necunoscute, la care matricea sistemului este nesingulară (nedegenerată)):

${x_k}=\frac{\Delta{x_k}}{\Delta},\;unde\;\Delta\neq{0}\;reprezinta\;{det(A)}\neq{0},\;iar$ {x_k}=\frac{\Delta{x_k}}{\Delta},\;unde\;\Delta\neq{0}\;reprezinta\;{det(A)}\neq{0},\;iar

${\Delta}{x_k}, {k}\in\begin{Bmatrix}1, 2,\cdots ,n\end{Bmatrix}$ {\Delta}{x_k}, {k}\in\begin{Bmatrix}1, 2,\cdots ,n\end{Bmatrix}

reprezinta determinantul obtinut din det(A) prin inlocuirea coloanei k prin coloana

termenilor liberi.

Teorema Kronecker - Capelli:

Un sistem liniar, format din m ecuatii cu n necunoscute, este compatibil (adica admite

solutii), daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei

extinse.

Rangul unei matrice este cel mai mare dintre ordinele minorilor nenuli ai matricei date; daca matricea este nula, atunci rangul ei este egal cu 0.

Teorema lui Rouché:

Un sistem liniar, format din m ecuatii cu n necunoscute, este compatibil, daca si numai

daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

Minorul care da rangul r al matricei sistemului, se numeste minor principal;
Necunoscutele si ecuatiile care au coeficienti in minorul principal se numesc necunoscute, respectiv ecuatii principale, iar toate celelalte necunoscute secundare, respectiv ecuatii secundare;
Cei (m - r) minori, obtinuti prin bordarea minorului principal cu o linie formata din coeficientii necunoscutelor principale din ecuatiile secundare si cu coloana termenilor liberi, se numesc minori caracteristici, numarul acestora fiind, evident, egal cu numarul de ecuatii secundare;
Daca sunt m ecuatii cu n necunoscute, iar rangul matricei sistemului este r, atunci $r\leq{min}{(m,n)},$ r\leq{min}{(m,n)},
Numarul necunoscutelor principale = numarul ecuatiilor principale = r,
Numarul ecuatiilor secundare = numarul minorilor caracteristici = (m - r),
Numarul necunoscutelor secundare = (n - r).