Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 19 Iulie, 2011

SIMETRIA (fata de o axa) - teorie

Definitie:

Daca (d) este o dreapta, simetria de axa (d) este o transformare a planului (p)

in el insusi, definita prin functia bijectiva s:(p) - > (p), astfel incat 

imaginea (simetricul) unui punct M este:

  • Tot M, daca M este situat pe (d).
  • Punctul M', astfel incat (d) sa fie mediatoarea segmentului [MM'], daca M nu este  un punct al dreptei (d).

Proprietati:

  • Transforma o dreapta (un segment) intr-o dreapta (intr-un segment).
  • Nu conserva directiile.
  • Conserva distantele (est une isometrie).
  • Nu conserva unghiurile orientate. 
  • Transforma o figura geometrica intr-o figura (invers) congruenta.

Simetricul unui punct:

Fie, in reperul cartezian xOy, o dreapta (d): y = mx + n si un punct M(a,b),

unde m, n, a si b sunt numere reale cunoscute.

Pentru a determina simetricul M'(a',b') al punctului M in raport cu axa de simetrie 

(d), se uitilizeaza definitia:

  • Daca M este un punct al axei (d), atunci M' = M.
  • Daca M nu este situat pe dreapta (d), atunci trebuie ales M'(a',b') astfel incat axa (d) sa fie mediatoarea segmentului [MM'].

Fie I(α,β) mijlocul segmentului [MM'], deci:

  • MI = IM' < = > 2α = a + a' si 2β = b + b'; (1)
  • MM' si (d) perpendiculare < = > [(b-b')/(a-a')]·m = -1; (2)

(a = a' in cazul particular (d)||Ox, situatie mult mai simpla).

  • I€(d) < = > β = mα + n; (3)

Din (1), (2) si (3) se obtin coordonnatele a' si b' ale punctului M', in functie  

de coeficientii cunoscuti m, n, a si b.

Aplicatie:

Reprezentatrea grafica a unei functii pare f:R - > R prezinta simetrie fata de axa Oy.

Intr-adevar, daca f(-x) = f(x), oricare ar fi x din R, rezulta de aici ca pentru

orice M(x,y) apartinand graficului functiei f, exista M'(-x,y) pe acelasi grafic. 

Este de la sine inteles ca axa Oy constitue mediatoarea segmentului [MM'],

deci este vorba de o simetrie fata de axa Oy. 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Kailee

FbBkPOlwdfLlvYmXRP, 08.08.2011 17:10

A few years ago I'd have to pay someone for this infrmoatoin.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan