Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»SCHIMBARI DE VARIABILA

Cele două metode de schimbare de variabilă, folosite la calculul primitivelor şi

integralelor definite, au drept scop obţinerea unor integrale (asociate) mai

uşor de calculat.

La prima metodă se notează o expresie ce depinde de x (vechea variabilă)

de exemplu cu t (noua variabilă), după care se calculează integrala asociată

I1; la metoda a doua se inlocuieşte x (vechea variabilă) cu o expresie ce

depinde de t (noua variabilă), urmând a fi calculată integrala asociată I1.

Deci în ambele cazuri variabila este schimbată cu ajutorul unei anumite

substituţii; alegerea acesteia este decisivă pentru obţinerea unei noi integrale

(asociată), cu rezolvare imediată.

În cele ce urmează sunt prezentate cele mai des folosite substituţii folosite în

calculul integralelor.

a doua a schimbării de variabilă.

Pagina următoare

SUBSTITUTII UZUALE

Data publicarii: 17.04.2011

Integrarea functiilor de forma

$R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),$ R(x,\;\sqrt[n]{ax+b})\;sau\;R(x,\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}),

unde R este o functie rationala de doua variabile, beneficiaza de substitutiile

$\sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,$ \sqrt[n]{ax+b}=t,\;respectiv\;\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,

in urma carora se obtin functii rationale in t, cu rezolvari bazate pe descompunere in

fractii simple, sau, uneori, chiar directe.

Integrarea functiilor de forma

$R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})$ R(x,\;\sqrt{ax^2+bx+c})

se face folosind substitutii (substitutiile lui Euler) in functie de valorile coeficientilor

a, b si c, anume:

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: SUBSTITUTII UZUALE

Postat în SCHIMBARI DE VARIABILA|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 1

Data publicarii: 14.07.2011

Suport teoretic:

Integrale definite, shimbarea de variabila, proprietatea de monotoniea integralei definite, progresii geometrice.

Enunt:

Sa se arate ca numarul real

$I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}$ I=\int_e^{e^2}{\frac{1}{\sqrt{1+lnx}}}{dx}

este cuprins intre doi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu ratia numarul real e.

Raspuns:

${2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.$ {2e}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\le{I}\le{2e^2}\cdot{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 1

Postat în SCHIMBARI DE VARIABILA|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 2

Data publicarii: 14.07.2011

Suport teoretic:

Primitivele unei functii rationale, metoda a doua a schimbarii de variabila.

Enunt:

Sa se calculeze, pe intervalul (1,+oo), primitivele functiei rationale:

$f(x)=\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}.$ f(x)=\frac{x^2-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}.

Raspuns:

$I={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2x^2+(1-\sqrt{5})x+2}{2x^2+(1+\sqrt{5}x+2)}\Big)}}+\mathcal{C}.$ I={\frac{\sqrt{5}}{5}}\cdot{{ln}{\Big(\frac{2x^2+(1-\sqrt{5})x+2}{2x^2+(1+\sqrt{5}x+2)}\Big)}}+\mathcal{C}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 2

Postat în SCHIMBARI DE VARIABILA|Vezi comentarii (1)

EXERCITIUL 3

Data publicarii: 14.07.2011

Suport teoretic:

Integrala trigonometrica definita, formula Leibniz-Newton, identitati trigonometrice, prima metoda a schimbarii de variabila.

Enunt:

Sa se calculeze integrala definita:

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin3x}{1+2cosx}}{dx}.$ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{sin3x}{1+2cosx}}{dx}.

Raspuns:

I = - 1/4.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 3

Postat în SCHIMBARI DE VARIABILA|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 4

Data publicarii: 14.07.2011

Support théorique:

L'aire du sous-graphique d'une fonction, intégrale trigonométrique définie.

Enoncé:

Calculer l'aire du sous-graphique de la fonction

$f:{[-{\frac{\pi}{2}},+\frac{\pi}{2}]}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\frac{1}{3+cosx}.$ f:{[-{\frac{\pi}{2}},+\frac{\pi}{2}]}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)=\frac{1}{3+cosx}.

Réponse:

$A(\Gamma_f)={\sqrt{2}}\cdot{arctg}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.$ A(\Gamma_f)={\sqrt{2}}\cdot{arctg}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 4

Postat în SCHIMBARI DE VARIABILA|Vezi comentarii (0)

Pagina următoare

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

SUBSTITUTII UZUALE

EXERCITIUL 1

EXERCITIUL 2

EXERCITIUL 3

EXERCITIUL 4

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului