Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»SCHEMA LUI HORNER

Numeroase exerciţii şi probleme de algebră impun efectuarea împărţirii unui

polinom f prin X-a, sau identificarea anumitor rădăcini ale unei ecuaţii

algebrice de grad superior, cu stabilirea ordinului lor de multiplicitate.

Evident, aceste operaţii pot fi realizate prin calcul direct, uneori destul de

laborios, însă algoritmul cunoscut sub numele de "schema lui Horner" ne oferă

o pistă mult mai rapidă pentru atingerea aceluiaşi obiectiv.

TEORIE

Data publicarii: 11.06.2010

Fie un polinom nenul f, de gradul n, cu coeficienti in campul K, de forma

$f\in{K[X]},\;f=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots+a_1X+a_{\circ}$ f\in{K[X]},\;f=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots+a_1X+a_{\circ}

si polinomul g, de gradul intai, de forma g = X - a, g € K[X].

In baza teoremei impartirii cu rest a polinomului f la g se obtin polinoamele

$q=b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+b_{n-3}X^{n-3}+\cdots+b_1X+b_{\circ}\;si\;r,$ q=b_{n-1}X^{n-1}+b_{n-2}X^{n-2}+b_{n-3}X^{n-3}+\cdots+b_1X+b_{\circ}\;si\;r,

unde q si r sunt catul, respectiv restul (evident, r este element al câmpului K, in

definitiv un polinom de grad cel mult 0).

Pentru obtinerea coeficientilor catului si restului, se foloseste urmatoarea schema

practica, numita schema lui Horner:

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în SCHEMA LUI HORNER|Vezi comentarii (2)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 16.05.2011

Suport teoretic:

Ecuatie cu permutari, ecuatie algebrica de gradul 3 cu coeficienti intregi, schema lui Horner.

Enunt:

Sa se rezolve ecuatia:

$\frac{1}{P_{n-2}}-\frac{1}{P_{n-1}}=\frac{n^3-P_4}{P_n}.$ \frac{1}{P_{n-2}}-\frac{1}{P_{n-1}}=\frac{n^3-P_4}{P_n}.

Raspuns:

n = 3.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în SCHEMA LUI HORNER|Vezi comentarii (1)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 16.05.2011

Suport teoretic:

Ecuatie algebrica avand coeficienti intregi, radacini simple, radacini multiple, radacini intregi, radacini complexe, schema lui Horner.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea numerelor complexe, cu ajutorul schemei lui Horner, ecuatia

algebrica:

$x^6-7x^5+19x^4-27x^3+26x^2-20x+8=0.$ x^6-7x^5+19x^4-27x^3+26x^2-20x+8=0.

Raspuns:

x1 = 1, x2 = x3 = x4 = 2, x5 = - i, x6 = i.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 2

Postat în SCHEMA LUI HORNER|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 3

Data publicarii: 13.06.2010

Suport teoretic:

Clase de resturi modulo n, schema lui Horner, teorema impartirii cu rest la polinoame.

Enunt:

Se dau polinoamele $f,g\in{Z}_5[X],\;f=\hat{3}X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{2},\;g=X+\hat{1}.$ f,g\in{Z}_5[X],\;f=\hat{3}X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{2},\;g=X+\hat{1}.