Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 21 August, 2011

TEORIE

Definitie:

Fiind date doua multimi A si B, nevide, numite respectiv 

multime de plecare si multime de sosire,

se numeste

relatie binara de la A catre B,

orice propozitie R adevarata pentru anumite cupluri (x,y) ale produsului cartezian AxB.

Daca propozitia R este adevarata pentru cuplul (x,y), se noteaza

xRy (a se citi "x este in relatia R cu y"); se noteaza de asemenea y = R(x).

Remarca:

O relatie R asociaza fiecarui element x din A 0, 1 sau mai multe elemente din B,

deci o relatie este in fapt o aplicatie de la A catre P(B) (multimea partilor multimii B).

O aplicatie de la A catre B este, deci, o relatie de la A catre B, astfel incat oricarui

element x din A i se asociaza un element, si numai unul, din B. 

Graful unei relatii de la A catre B:

Submultimea produsului cartezian A x B, formata din cuplurile (x,y), astfel incat xRy,

este numita graful relatiei R intre A si B, care se noteaza GR.

De aici rezulta, deci, echivalenta:

{x}{\mathcal{R}}{y}{x}{\mathcal{R}}{y} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {(x,y)}\in{G_{\mathcal{R}}}\;cu\;{G_{\mathcal{R}}}\subset{{A}\times{B}}.{(x,y)}\in{G_{\mathcal{R}}}\;cu\;{G_{\mathcal{R}}}\subset{{A}\times{B}}.

Exemplu:

Fie relatia R = | ("divide") 

de la A = {1;2;3;4;5} catre B = {6;7;8;9;10}.

Graful sau este:

G| = {(1;6),(1,7),(1,8),(1,9),(1, 10),(2, 6),(2,8),(2,10),(3,6),(3,9),(4,8),(5,10)}. 

Evident, cuplul (3, 5), de exemplu, al produsului cartezian AxB, nu apartine grafului,

pentru ca 3 nu divide pe 5.

Din contra, cuplul (4,8) al aceluiasi produs cartezian, apartine grafului,

caci 4|8 (4 divide pe 8).

Acest graf ar putea fi reprezentat in mod sugestiv, astfel: 

Relatie binara intre elementele unei aceleasi multimi:

Este vorba, deci, de o relatie R a unei multimi A catre ea insasi: (R,A,A).

Proprietati pe care poate sa le posede o relatie binara intr-o multime A:

  • reflexiva,          daca xRx pentru orice xЄA;
  • simetrica,       daca xRy= >yRx, oricare ar fi (x,y)ЄA²;
  • antisimetrica, daca (xRy si yRx)=>x = y, oricare ar fi (x,y)ЄA²;
  • tranzitiva,      daca (xRy si yRz)=>xRz, oricare ar fi (x,y,z)ЄA².

Relatii de echivalenta:

Definitie:

Se numeste relatie de echivalenta orice relatie binara intr-o multime A, care este 

reflexiva, simetria si tranzitiva.

Exemplu:

Relatia de asemanare in multimea triunghiurilor.

Elemente echivalente (sau congruente):

Se numesc elemente echivalente (congruente) doua elemente din A, sa zicem 

x si y, daca xRy.

Se noteaza adesea, aceasta echivalenta, in felul urmator:

x = y (mod R) (a se citi "x congruent cu y modulo R").

Clasa de echivalenta a unui element aЄA:

Fiind data o relatie de echivalenta (R,A,A), se numeste astfel (si se noteaza â sau C(a))

multimea elementelor xЄA, astfel incat xRa, adica: â = {xЄA|xRa}.

O clasa de echivalenta este reprezentata de un element oarecare al sau, element numit

reprezentant al acestei clase.

Clasele de echivalenta realizeaza o partitie a multimii A: altfel spus,

clasele de echivalenta sunt disjuncte doua cate doua si reuniunea lor este egala cu A.

Multimea cat a multimii A prin R:

Se numeste astfel, si se noteaza prin A/R, multimea tuturor claselor de echivalenta,

definite de relatia binara R pe multimea A.

Exemplu: vezi aici !

Relatii de ordine intr-o multime A:

Definitie:

Se numeste astfel o relatie binara R care este

reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

Exemplu:

Relatia de divizibilitate in multimea numerelor naturale.

Observatie:

Adesea, o relatie de ordine se noteaza  \le\le   si se citeste "inaintea lui" sau

"anterior lui" (evident, daca relatia este definita pe multimea numerelor reale, atunci

se citeste "mai mic sau egal"; in acest caz, se spune ca multimea numerelor reale este

total ordonata, pentru ca orice doua numere reale x si y sunt comparabile:

(x < y) sau (y < x) sau (x = y)).

Postat în: RELATII-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Parere

Robert, 23.10.2017 21:03

Excelent articol. Recomand

Vicky

vwcxsLGUkfKVlUH, 16.09.2011 01:49

Many many quality pnoits there.

Răspuns: 0

Kiana

VthNtbsjcVfRXH, 13.09.2011 10:12

Heck yeah this is exactly what I nedeed.

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan