Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»RELATII

Intre elementele a două mulţimi nevide, A şi B, pot exista anumite "relaţii"

matematice (potrivit naturii lor), ca de exemplu:

mai mic, mai mare, egal, divizibil, asemenea, perpendicular, paralel,

echipolent etc.

Intrucât există o sumedenie de asemănări între proprietăţile unor asemenea

relaţii, este foarte util a le analiza global, la modul general, luând în discuţie o

relaţie oarecare R între elementele a două mulţimi A şi B, nevide, de

asemenea oarecare.

RELATII - teorie

Data publicarii: 21.08.2011

Definitie:

Fiind date doua multimi A si B, nevide, numite respectiv multime de plecare et

multime de sosire, se numeste relatie binara de la A catre B, orice propozitie

R adevarata pentru anumite cupluri (x,y) ale produsului cartezian A x B.

Daca propozitia R este adevarata pentru cuplul (x,y), se noteaza x R y

(a se citi "x este in relatia R cu y"); se noteaza de asemenea y = R(x).

Remarca:

O relatie R asociaza fiecarui element x din A 0, 1 sau mai multe elemente din B,

deci o relatie este in fapt o aplicatie de la A catre P(B) (multimea partilor multimii B).

O aplicatie de la A catre B este, deci, o relatie de la A catre B, astfel incat oricarui

element x din A i se asociaza un element, si numai unul, din B.

Postat în RELATII|Vezi comentarii (3)

Data publicarii: 23.08.2011

Teorema impartirii cu rest in multimea numerelor intregi:

Fiind date doua numere intregi a si b, cu b nenul, exista doua numere intregi q si r,

unice, cu proprietatea:

a = bq + r, unde r € [0;|b|).

Egalitatea de mai sus se numeste identitatea impartirii cu rest pentru numere intregi, iar numerele q si r se numesc catul si respectiv restul impartirii numarului a la b.
Numarul a se numeste deimpartit, iar b se numeste impartitor.
Daca r = 0, se spune ca a este divizibil cu b (a este multiplu de b), sau ca b divide pe a (b este divizor al lui a); notatie: b|a.
Se verifica usor ca relatia de divizibilitate este relatie de ordine partiala (caci nu orice doua numere intregi sunt in relatie; ex 3 si 4) in multimea numerelor intregi nenegative (x|x, x|y si y|x = > x = y, x|y si y|z = >x|z).

Postat în RELATII|Vezi comentarii (2)

Data publicarii: 23.08.2011

Teorema impartirii cu rest in multimea polinoamelor avand coeficienti intr-un inel comutativ (A,+, ·):

Fiind dat un polinom g, al carui coeficient dominant este inversabil in inelul

(A, +, ·), pentru orice polinom f € A(X) (se citeste "polinom f cu coeficienti in inelul A

si nedeterminata X"), exista polinoamele unice q, r € A(X), astfel incat

f = g·q + r si grad(r) < grad(g).

Observatii:

Polinomul f se numeste deimpartit, g - impartitor, q - cat si r - rest.
Evident, teorema este adevarata si daca A = K , unde K este corp comutativ (camp) si g este diferit de polinomul nul. Cazurile particulare cel mai des intalnite sunt cele in care K = C, K = R, K = Q, K = Zp, p - prim (corpul claselor de resturi modulo p, cu p prim), sau pentru f € Z(X) (f este polinom cu coeficienti intregi si nedeterminata X), daca g este nenul si coeficientul dominant al lui g este +1 sau -1, singurele elemente inversabile ale inelului (Z,+,·).

Postat în RELATII|Vezi comentarii (1)