Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 01 Noiembrie, 2012

REDUCEREA LA PRIMUL CADRAN-teorie

Folosind periodicitatea functiilor trigonometrice si identitati trigonometrice adecvate,

exista posibilitatea calcularii tuturor valorilor functiilor sinus si cosinus numai cu ajutorul

valorilor acestora pe intervalul [0;π/2] (sau chiar [0;π/4]).

Aceasta trecere de la xЄR la x'Є[0;π/2] (sau [0;π/4]) este cunoscuta sub numele de

reducere la primul cadran (respectiv primul octant).

Este cunoscut faptul ca pentru orice xЄR, exista kЄZ si αЄ[0;2π), astfel incat x = 2kπ + a.

Tinand cont de periodicitatea functiilor sin si cos, rezulta imediat:

sinx = sin(2kπ + α) = sin α si cosx = cos(2kπ + α) = cosα.

Distingem urmatoarele cazuri, in functie de cadranul in care este situata extremitatea

arcului de masura α:

1) Cadranul al 2-lea:

αЄ(π/2;π) < = > α = π - x', unde x'Є(0;π/2).

Deci:

sinx = sin(2kπ + α) = sin α = sin(π - x') = sinx',

cosx = cos(2kπ + α) = cosα = cos(π - x')= - cosx',

Exemplu:

sin(-13π/4) = sin(-4π + 3π/4) = sin(3π/4) = sin(π - π/4) =

= sin(π/4) = V2/2.

2) Cadranul al 3-lea:

αЄ(π;3π/2) < = > α = π + x', unde x'Є(0;π/2).

Deci:

sinx = sin(2kπ + α) = sin α = sin(π + x') = - sinx',

cosx = cos(2kπ + α) = cosα = cos(π + x')= - cosx',

Exemplu:

cos(26π/3) = cos(10π - 4π/3) = cos(- 4π/3) = cos(4π/3) =

= cos (π + π/3) = -cos(π/3) = -1/2.

3) Cadranul al 4-lea:

αЄ(3π/2;2π) < = > α = 2π - x', unde x'Є(0;π/2).

Deci:

sinx = sin(2kπ + α) = sin α = sin(2π - x') = -sinx',

cosx = cos(2kπ + α) = cosα = cos(2π - x')= cosx',

Exemplu:

sin(-13π/3) = sin(-6π + 5π/3) = sin(5π/3) = sin(2π - π/3) =

= -sin(π/3) = -V3/2.

Observatii:

1) Reducerea la primul octant, in cazul cand x'Є(π/4;π/2), se face astfel:

sinx' = cos(π/2 - x') = cosx",

cosx' = sin(π/2 - x') = sinx", unde x"Є(0;π/4).

Exemplu:

sin(5π/12) = cos(π/2 - 5π/12) = cos(π/12) = cos(4π/12 - 3π/12)= = cos(π/3 - π/4 ) =

= cos(π/3)·cos(π/4) + sin(π/3)·sin(π/4) = ... = (V2+V6)/4.

2) In cazul in care argumentul aЄ{0;π/2;π;3π/2}, rezulta imediat:

sin0 = 0, cos0 = 1,

sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0, 

sinπ = 0, cosπ = -1,

sin3π/2 = -1, cos3π/2 = 0.

3) Un rationament analog permite reducerea la primul cadran (octant) in cazul functiilor

tangenta si cotangenta, tinandu-se cont ca perioada generala a acestora este de forma

kπ, unde kЄZ*.

Exemple: 

a) tg(29π/4) = tg(7π + π/4) = tg(π/4) = 1.

b) ctg915° = ctg((5·180° + 15°) = ctg15° = ctg(30°/2) =

= (sin30°)/(1 - cos30°) = (1/2)/(1 - V3/2) = ... = 2+V3.

Postat în: TRIGONOMETRIE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Text

Bianca, 11.04.2017 08:29

.

Răspuns: .

Matematica-trigonometrie

Dysy Dyana, 29.05.2013 17:06

Aceste formule mi-au fost de mare ajutor, deoare ce eu nu prea ma pricep la matematica

Răspuns: 0

Dmitry

FyTWRoEjvmbvBLOnxCb, 22.03.2013 10:02

Thanks for writing such an easy-to-understand atrcile on this topic.

Răspuns: 0

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan