Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

O funcţie continuă pe un interval, dar nederivabilă într-un punct

xo al acestuia (atenţie: o funcţie derivabilă într-un punct este continuă

în acel punct, însă reciproca nu este, neapărat, adevărată) se

caracterizează prin:

1) derivate laterale în xdiferite, cel puţin una finită,

sau

2) derivate laterale în xegale cu +oo şi -oo,

sau

3) derivate laterale în xegale cu +oo sau cu -oo.

Punctul xo , în aceste condiţii, este

punct unghiular,

sau

punct de întoarcere,

sau

punct de inflexiune

al funcţiei respective.

Prezentarea teoretică de mai jos detaliază şi exemplifică aceste situaţii.

TEORIE

Data publicarii: 10.06.2013

 

Puncte unghiulare:

Fiind data o functie f:(a,b) - > R si un punct xoЄ(a,b), astfel incat functia f este continua

in xonu este derivabila in xo, dar are derivate laterale diferite (cel putin una finita)

in xo, spunem ca

xo este punct unghiular al functiei f, 

M(xo ,f(xo)) este punct unghiular al reprezentarii grafice a functiei f,

respectiv

(xo ,f(xo))ЄGf  este punct unghiular al graficului functiei f.

Exemplu:

Fie functia f:R - > R, definita prin legea

f(x)=\begin{cases}1-x^2,\;x\in{(-\infty,1]}\\lnx,\;x\in{(1,\infty)}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}1-x^2,\;x\in{(-\infty,1]}\\lnx,\;x\in{(1,\infty)}\end{cases}.

Se constata usor ca functia f este continua in x = 1

(limita la stanga = limita la dreapta = f(1) = 0), insa f's(1) = -2 si f'd(1) = 1,

deci x=1 este punct unghiular al functiei f.

Desenul de mai jos prezinta sugestiv acest "comportament" al functiei f in x = 1:

CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 5

Data publicarii: 24.05.2015

Suport teoretic:

Functia modul,continuitate,derivabilitate,puncte unghiulare,puncte de extrem,arii .

Enunt:

Fie functia

f:[-π/2,π/2] - > R, f(x) = |sinx|.

Se cere:

a) Sa se arate ca functia f este continua, dar nu este derivabila in origine.

b) Sa se arate ca functia f admite ca punct unghiular originea axelor.  

c) Sa se calculeze aria suprafetei triunghiulare OAB, unde A si B sunt intersectiile

semitangentelor in O(0,0) la grafic cu dreapta determinata de punctele de maxim ale

graficului.

Raspuns:

c) Aria[OAB] = 1.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 5

EXERCITIUL 4

Data publicarii: 06.11.2014

Suport teoretic:

Functii cu acolada,functii gradul 2,continuitate,derivabilitate,puncte unghiulare,

semitangente,ecuatia dreptei,arii.

Enunt:

Fie functia cu acolada f:R - > R, definita prin legea:

f(x)=\begin{cases}x^2-2x-3,\;x\le{4}\\-x^2+4x+5,\;{x}>{4}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}x^2-2x-3,\;x\le{4}\\-x^2+4x+5,\;{x}>{4}\end{cases}.

1) Sa se arate ca reprezentarea grafica a functiei f admite un punct unghiular M(a,b).

2) Sa se determine ecuatiile semitangentelor la grafic in punctul M(a,b).

3) Sa se calculeze aria suprafetei triunghiulare, determinata de semitangente si

axa absciselor.

Raspuns:

Aria[MAB] = 125/4.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 4

EXERCITIUL 3

Data publicarii: 23.09.2013

Suport teoretic:

Functia arcsinus,functia radical,inecuatii grad 2,puncte unghiulare,derivate laterale,

panta unei drepte,ecuatia unei drepte,arii. 

Enunt: 

Se defineste functia f:D - > R (D fiind domeniul sau maxim de definitie), prin legea:

f(x)=arcsin{\sqrt{1-x^2}}.f(x)=arcsin{\sqrt{1-x^2}}.

1) Sa se afle multimea D.

2) Sa se arate ca reprezentarea geometrica a functiei f admite un punct unghiular U.

3) Sa se calculeze aria suprafetei triunghiulare, delimitata de semitangentele (cu

originea in V) la graficul functiei f si axa absciselor. 

Raspuns:

1) D = [-1;+1]; 2)U(0;π/2); 3) Aria =  π²/4. 

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 3

EXERCITIUL 2

Data publicarii: 10.09.2013

Suport teoretic:

Functii continue,corolar Lagrange,derivate laterale,puncte de intoarcere.

Enunt:

Se da functia f:[-1;9] - > R, definita prin legea

f(x)=\begin{cases}\sqrt{15-2x-x^2},\;x\le{3}\\\sqrt{-45+18x-x^2},x>{3}\end{cases}.f(x)=\begin{cases}\sqrt{15-2x-x^2},\;x\le{3}\\\sqrt{-45+18x-x^2},x>{3}\end{cases}.

a) Sa se arate ca functia f este continua.

b) Sa se afle Imf.

c) Sa se arate ca numarul x = 3 este punct de intoarcere al functiei f.

Raspuns:

b) Imf = [0;6].

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 2

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan