Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Teorema lui Fermat:

Fie  funcţia f:I - > R derivabilă pe intervalul I; dacă xo este un punct de extrem local

al funcţiei f, interior intervalului I, atunci: f'(xo ) = 0.

Teorema lui Rolle:

Fie functia f:I - > R si a, b in I, a < b.

Daca:         

1) f este continua pe [a,b],

2) f este derivabila pe (a,b),

3) f(a) = f(b),

atunci exista c in (a,b), astfel incat f'(c) = 0.

Sirul lui Rolle:

Fiind data o ecuatie de forma f(x) = 0, unde f:I - > R este o functie derivabila pe

intervalul I, numim sirul lui Rolle asociat functiei f, sirul semnelor valorilor  

a, f(c1), f(c2), ... , f(cn), b, unde a si b sunt limitele sau valorile functiei f la capetele

intervalului I, iar c1, c2, ... , cn, sunt radacinile reale si distincte ale ecuatiei f'(x) = 0

(numite punctele critice ale functiei f), scrise in ordine crescatoare. Distingem

urmatoarele cazuri:

1) Daca in sirul lui Rolle apar doua semne consecutive identice, atunci nu exista nicio

solutie reala a ecuatiei f(x) = 0 in intervalul respectiv.

2) Daca in sirul lui Rolle apar doua semne consecutive diferite, atunci ecuatia

f(x) = 0 are o singura solutie reala in intervalul respectiv.

3) Daca in sirul lui Rolle apare numarul 0, de exemplu f(ck) = 0,  

atunci ck este radacina multipla a ecuatiei f(x) = 0.

Concluzie:

Numarul de solutii reale ale ecuatiei f(x) = 0 coincide cu numarul schimbarilor de semn

si al zerourilor din sirul lui Rolle.

(vezi exemplu)

Teorema lui Lagrange:

Fie functia f:I - > R, a, b in I, unde I este interval in R si a < b.

Daca:

1) f este continua pe [a,b],

2) f este derivabila pe (a,b),

atunci exista c in (a,b), astfel incat f(b) - f(a) = (b - a)f '(c).

Consecinte: 

1) Corolarul teoremei lui Lagrange:

Fie x0 in R, o vecinatate V a lui x0 si o functie f:V - > R.

a) Daca f este continua in x0 si derivabila pe V\{x0} si

b) Daca exista

{{lim}_{{x}\rightarrow{x_{\circ}}}{f'(x)}}\in{\mathbb{R}},

atunci:

c) f este derivabila in x0 si f '(x0) = limx->x0f'(x).

2) Functie cu derivata nula:

Fie I un interval in R; daca:

• f: I - > R este derivabila pe I si daca
• f'(x) = 0, pentru orice x in I, atunci:
• functia f este constanta pe I.

3) Functii cu derivate egale:

Teorema lui Cauchy:

Fie functiile f,g:I - > R, a,b in I, a < b, I interval in R.

Daca:

• f, g sunt continue pe [a,b],
• f, g sunt derivabile pe (a,b),
• g'(x) diferit de 0 pe (a,b), atunci:

I) g(a) este diferit de g(b) si:

II) exista c in (a,b), astfel incat:

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{{f}^{'}}(c)}{{{g}^{'}}(c)}.

Teorema lui Darboux:

Daca functia f:I - > R, unde I este interval in R, este

derivabila pe I, atunci functia derivata f' are proprietatea lui Darboux pe intervalul I.

Regulile lui L'Hospital:

Cazul I) (\frac{0}{0}):  Fie functiile f,g:I -> R, unde I este interval in R si

a este un punct de acumulare al acestuia.

Daca: 

1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)}=0,

2)\;f\;si\;g\;sunt\; derivabile\; pe I\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}},

3)\;{{g}^{'}}(x)\neq{0}\;\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},

4)\;{{{g}^{ '}}(x)}\neq{0},\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},

5)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

atunci functia f/g are limita in x = a si:

\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}}.

Cazul II) (\frac{\infty}{\infty}):  Fie functiile f,g: I - > R, unde I este interval

in R si a este un punct de acumulare al acestuia.

Daca: 

1)\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|f(x)|}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{|g(x)|} =+\infty,

2)\;f\; si\; g\;sunt\;derivabile\;pe\;{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}},

3)\;{{{g}^{ '}}(x)}\neq{0},\forall{x}\in{{I}\setminus{\begin{Bmatrix}{a}\end{Bmatrix}}},

4)\;\exists\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}\in{\bar{\mathbb{R}}}},

atunci:

I) functia f/g are limita in x = a,

II) \lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{{x}\rightarrow{a}}{\frac{{{f}^{'}}(x)}{{{g}^{'}}(x)}}.

Formula lui Taylor (pentru polinoame):

Fie P un polinom de gradul n cu coeficienti reali si x = a din R fixat. Atunci are loc

egalitatea:

P(x)={P(a)}+\frac{{{P}^{'}}(a)}{{1!}}{(x-a)}+\frac{{{P}^{''}}(a)}{{2!}}{{(x-a)}^2}+\cdots+\frac{{{P}^{(n)}}(a)}{{n!}}{{(x-a)}^n}.

Rolul derivatei intai in studiul functiilor:

Fie f:I - > R o functie derivabila pe intervalul I. Atunci:

1) Functia f este monoton crescatoare pe intervalul I daca si numai daca

{f'(x)}\geq{0},\forall{x}\in{I}.

2) Functia f este monoton descrescatoare pe intervalul I daca si numai daca

{f'(x)}\leq{0},\forall{x}\in{I}.

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor:

Fie f:I - > R o functie de doua ori derivabila pe intervalul I. Atunci:

1) f este convexa pe I daca si numai daca:

{f''(x)}\geq{0},\forall{x}\in{I}.

2) f este concava pe I daca si numai daca:

{f''(x)}\leq{0},\forall{x}\in{I}.