Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 12 Iunie, 2011

PROPRIETATI

Formula Leibniz-Newton:

Fie f o functie definita pe un interval [a,b] si cu valori in R, integrabila,

care admite primitive pe [a,b].

Atunci, pentru orice primitiva F a functiei f, are loc egalitatea:

\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).

Teorema lui Lebesgue (cazul finit):

Fie f o functie definita pe intervalul [a,b] si cu valori in R, marginita.

Daca f are un numar finit de puncte de discontinuitate, atunci ea  este integrabila pe [a,b].

Teorema:

Fie functiile f si g, definite pe intervalul [a,b] si cu valori in R si A o multime finita

inclusa in [a,b]. Daca:

a) f este integrabila pe [a,b],

b) f(x) = g(x), pentru orice x din [a,b]\A, atunci:

Functia g este integrabila pe [a,b] si:

\int_{a}^{b}{g(x){dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.\int_{a}^{b}{g(x){dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.

Teorema (privind integrabilitatea functiilor continue):

Orice functie continua f, definita pe [a,b] si cu valori in R, este integrabila pe [a,b].

Proprietatea de liniaritate a integralei definite:

Daca functiile f,g:[a,b] - > R, sunt integrabile pe [a.b] si λЄR, atunci:

a) Functia (f+g) este integrabila pe [a,b] si:

\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]{dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}+\int_{a}^{b}{g(x){dx}}.\int_{a}^{b}{[f(x)+g(x)]{dx}}=\int_{a}^{b}{f(x){dx}}+\int_{a}^{b}{g(x){dx}}.

b) Functia (λ·f) este integrabila pe [a,b] si: 

\int_{a}^{b}{(\lambda\cdot{f})(x){dx}}=\lambda\cdot\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.\int_{a}^{b}{(\lambda\cdot{f})(x){dx}}=\lambda\cdot\int_{a}^{b}{f(x){dx}}.

Proprietatea de aditivitate la interval a integralei definite:

Fie f o functie definita pe [a,b] cu valori in R si cЄ[a,b].

Daca f este integrabila pe [a,c] si pe [c,b], atunci f este integrabila pe [a,b] si are loc

egalitatea:

\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{c}^{b}{f(x)dx}.

Proprietatea de nenegativitate a integralei definite:

Daca f, definita pe [a,b] si cu valori in R, este o functie integrabila pe [a,b] si

{f(x)}\geq{0},\forall{x}\in[a,b],{f(x)}\geq{0},\forall{x}\in[a,b],

atunci

\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq{0}.\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq{0}.

Proprietatea de monotonie a integralei definite:

Daca functiile f si g, definite pe [a,b] si cu valori in R, sunt integrabile pe[a,b] si au

proprietatea 

f(x)\leq{g(x)},\forall{x}\in{[a,b]},f(x)\leq{g(x)},\forall{x}\in{[a,b]},

atunci:

\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}.\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq\int_{a}^{b}{g(x)dx}.

Proprietatea de medie a integralei definite:

Daca: 

a) f:[a,b] - > R este o functie continua pe [a,b] si

b)\;m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in[a,b],b)\;m\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in[a,b],

atunci:

{m(b-a)}\leq\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}\leq{M(b-a)}.{m(b-a)}\leq\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}\leq{M(b-a)}.

Consecinta:

Daca functia f:[a,b] - > R este continua, atunci exista xiЄ[a,b], astfel incat: 

\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}={(b-a)}\cdot{f({\xi})}.\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}={(b-a)}\cdot{f({\xi})}.

Numarul real

{V}_{m}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{f(x)dx}={f(\xi)}{V}_{m}=\frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}^{b}{f(x)dx}={f(\xi)}

se numeste valoarea medie a functiei f pe [a,b].

Modulul integralei definite:

Daca f, definita pe [a,b] si cu valori in R, este continua pe [a,b], atunci 

functia modul |f| este continua pe [a,b] si:

{|\int_{a}^{b}{f(x)dx}|} \leq {\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}}.{|\int_{a}^{b}{f(x)dx}|} \leq {\int_{a}^{b}{|f(x)|dx}}.

Consecinte:

a) Daca f, definita pe [a,b] si cu valori in multimea numerelor reale nenegative,

este continua pe [a,b], atunci oricare ar fi intervalul [c,d] inclus in [a,b],

are loc inegalitatea:

{\int_{c}^{d}{f(x)dx}} \leq{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}.{\int_{c}^{d}{f(x)dx}} \leq{\int_{a}^{b}{f(x)dx}}.

b) Daca f:[a,b] - > [0,+oo) este continua pe [a,b], si daca exista xoЄ[a,b] cu f(xο) > 0,

atunci: 

\int_{a}^{b}{f(x)dx>0}.\int_{a}^{b}{f(x)dx>0}.

Teorema de existenta a primitivelor unei functii continue

(teorema fundamentala a calculului integral):

Fie f:[a,b] - > R o functie continua. Atunci functia F:[a,b] - > R, 

F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)}dt,\;\forall{x}\in{[a,b]},F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)}dt,\;\forall{x}\in{[a,b]},

are urmatoarele proprietati:

a) F este continua pe [a,b] si F(a) = 0.

b) F este derivabila pe [a,b] si F'(x) = f(x), oricare ar fi xЄ[a,b].

c) \int_{a}^{b}{f(t)}dt=F(b)-F(a),\int_{a}^{b}{f(t)}dt=F(b)-F(a),

unde F este o primitiva arbitrara a functiei f (formula Leibniz-Newton).

Observatie importanta:

Din cele de mai sus, rezulta formula

(\int_a^x{f(t)dt})^{(\int_a^x{f(t)dt})^{'}=f(x),

care exprima legatura dintre operatiile de derivare si integrare. 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan