Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 26 Decembrie, 2015

PROBLEMA 8

Suport teoretic:

Functii,limite de functii,functii injective,functii surjective,functii bijective,functii inversabile,

functii derivate,functii trigonometrice,semnul unei functii. 

Enunt:

Sa se demonstreze ca functia

f:(0,π) - > (1,+oo), definita prin

f(x) =\frac{x^2}{sin^2x}\;,f(x) =\frac{x^2}{sin^2x}\;,

este inversabila.

Demonstratie:

Evident, functia f este bine definita si continua pe domeniul sau de definitie, iar limitele

la capetele acestuia sunt 1, respectiv +oo;rezulta ca f este surjectiva (1). 

Sa aratam ca f este si injectiva cu ajutorul derivatei intai; fie:

f^{f^{'}(x)=...=\frac{x(2sinx-xcosx)}{sin^3x}\;.

Este suficient sa dovedim ca f' pastreaza acelasi semn pe (0,π); observam ca x > 0 si

sin³x > 0, oricare ar fi xЄ(0;π); (2)

Conteaza, deci, semnul functiei

g:(0;π) - >R, g(x) = 2sinx - xcosx,

pentru identificarea semnului functiei f'. Fie:

g'(x) = 2cosx - (cosx - xsinx) = cosx + xsinx > 0,

evident adevarat pentru orice xЄ(0;π/2].(3)

Pentru studiul semnului functiei g'(x) = cosx + xsinx pe intervalul (π/2;π), fie

g"(x) = ... = xcosx < 0, deci g' este strict descrescatoare pe (π/2;π), de la valoarea

g'(π/2) = π/2, la valoarea g'(π) = -1.

Cum functia g' este strict descrescatoare, rezulta ca exista  xoЄ(π/2;π), astfel incat

g'(xo) = 0, deci g'(x) > 0 pe intervalul (π/2;xo) si g'(x) < 0 

pe intervalul (xo;π). (Vezi si aici)

Asa dar, functia g creste de la 2 la g(xo) > 0 si scade de la g(xo) la g(π) = π,

cu alte cuvinte, g(x) > 0, oricare ar fi xЄ(π/2;π). (4)

Din (2), (3) si (4), rezulta ca f'(x) > 0, oricare ar fi xЄ(0;π), prin urmare

functia f este strict crescatoare, deci injectiva pe (0;π) (5). 

Din (1) si (5) rezulta ca f este bijectiva, prin urmare inversabila pe (0;π).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan