Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 15 Septembrie, 2013

PROBLEMA 6

Suport teoretic:

Functii gradul doi,functia logaritm natural,rolul derivatei I,curbe tangente.

Enunt:

FIe functiile

f:(0,+oo) - > R, f(x) = lnx

si

g:R -> R, g(x) = ax²

1) Sa se afle aЄR, astfel incat reprezentarile lor grafice sa fie tangente.

2) Sa se precizeze, apoi, coordonatele punctului T de tangenta.

Raspuns:

1) a = 1/(2e); 2) T(Ve;1/2).

Rezolvare:

Daca a = 0, atunci g(x) = 0 are ca reprezentare axa Ox, care intersecteaza, evident,

graficul functiei logaritm natural in punctul de coordonate (1;0), deci aceasta valoare

se exclude.

Daca a < 0, atunci functia definita prin legea g(x) = ax² este de gradul II, concava,

si graficul sau intersecteaza graficul functiei logaritm natural in cadranul IV, deci

ramane sa analizam cazul a > 0.

Intrucat functia f este definita pe (0,+oo), iar g(x) > 0, pentru orice x > 0, vom arata ca

exista  x > 0 si y > 0, astfel incat punctul T(x,y) apartine ambelor grafice si, in acest

punct, exista tangenta comuna, adica f(x) = g(x) si f'(x) = g'(x)

(vezi desenul de mai jos).

Avem echivalentele (pentru x > 0):

f(x) = g(x) < = > lnx= ax²; (1)

si

f'(x) = g'(x) < = > 1/x = 2ax. (2)

Din (2) rezulta 

2ax² = 1 < = > x = 1/V(2a) (caci x > 0); (3)

Din (1) si (3) rezulta

ln[1/V(2a)] = a[1/(2a)] < = > ... < = >  a = 1/(2e); (4).

Deci f(x) = lnx si g(x) = [1/(2e)]·x².

Din (3) si (4) se obtine x = Ve, apoi avem

y = ln x = ln(Ve) = 1/2, deci T(Ve;1/2).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan