Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 07 Noiembrie, 2014

PROBLEMA 6

Suport teoretic:

Rapoarte trigonometrice,sisteme ecuatii,cerc inscris circumscris.

Enunt:

In triunghiul ABC, in care BC = 10cm, au loc relatiile:

1) 4sinB - 2cosC = 1 si

2) 3sinB + cosC = 2.

Sa se calculeze ariile discurilor definite de cercul circumscris si  

cercul incris triunghiului ABC.

Raspuns:

{\pi}R^2=25\pi{cm}^2;{\pi}R^2=25\pi{cm}^2; \pi{r^2}=\frac{25(2-\sqrt{3})}{2}.\pi{r^2}=\frac{25(2-\sqrt{3})}{2}.

Rezolvare:

Egalitatile 1) si 2) formeaza un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, anume

sinB si cosC.

Notand sinB = x si cosC = y, ecuatiile sistemului devin:

(4x - 2y = 1)

si

(3x + y = 2).

Se rezolva usor si se gaseste

(x = sinB = 1/2) si (y = cosC = 1/2), de unde rezulta imediat ca 

mas(B) = 30° si mas(C) = 60°,

prin urmare triunghiul ABC este dreptunghic in A.

Se deduce, totodata, ca raza cercului circumscris este R = 5cm.

(ipotenuza BC = a = 10 cm este diametrul cercului circumscris), 

AC = b = 5 cm (cateta opusa unghiului de 30°) si

AB = c = 5V3 cm (cu ajutorul teoremei lui Pitagora, sau a unui raport trigonometric).

Notand cu O' centrul cercului inscris, aria S a suprafetei [ABC] (egala cu b·c/2)

se poate exprima astfel:

S = A(AO'B) + A(AO'C) + A(BO'C) = c·r/2 + b·r/2 + a·r/2 = [(a+b+c)/2]·r = p·r

(vezi desenul de mai jos).

Rezulta formula S = p·r, ca alternativa pentru aria suprafetei unui triunghi oarecare.

Rezulta imediat raza cercului inscris:

r = S/p, unde p reprezinta semiperimetrul triunghiului ABC.

In final, ariile celor doua discuri sunt date de formulele

πR² = 25π cm² si πr² = (πS²/p²)cm² etc.


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan