Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 10 Noiembrie, 2017

PROBLEMA 4.11

Suport teoretic:  

Cercul,tangenta la cerc,triunghiul dreptunghic,functiile trigonometrice,cosinus,arccosinus. 

Enunt: 

Fie 2R diametrul Terrei.

a) La ce distanta trebuie sa fie un observator O*,avand inaltimea a, de un munte cu

inaltimea 2b, astfel incat sa vada muntele doar de la jumatatea lui in sus ?

b) Cat orizont vede observatorul in jurul sau, de la nivelul marii ? 

Raspuns:

a) L(arc) = R{arccos[R/(R+b)]+arccos[R/(R+a)]}.

b) L(cerc) = 2•π•R•√(2aR+a²)/(R+a) .  

Rezolvare:

a) In desenul de mai jos, am folosit urmatoarele notatii:

O*A = a , MB = b (jumatate din inaltimea, nevazuta, a muntelui), ATB - raza vizuala,

evident tangenta cercului in T si deci perpendiculara pe raza OT, α si β masurile 
 
(in radiani) ale celor doua unghiuri la centru.

Pentru calculul lungimii L a arcului de cerc O*TM folosim formula  L = R(α+β). (1)

Din triunghiurile dreptunghice OTB si OTA avem

 cosα = R/(R+b), respectiv cosβ = R/(R+a), de unde rezulta:

α = arccos[R/(R+b)] si β = arccos[R/(R+a)]. (2) 

Din 1 si 2 deducem : L = R{arccos[R/(R+b)]+arccos[R/(R+a)]}.
 
b) Lungimea orizontului accesibil observatorului este lungimea cercului de centru Q si

raza QT, situat in planul perpendicular pe OA, unde centrul Q este proiectia ortogonala a

punctului T pe OA.
 
Exprimand aria triunghiului dreptunghic OTA in doua moduri, avem succesiv:
 
OT•TA = OA•TQ < = > TQ = (OT•TA)/OA < = > TQ = (R•TA)/(R+a). (1)
 
TA = √(OA²-OT²)=√[(R+a)²-R²]=√(2aR+a²). (2)
 
Din 1 si 2 rezulta:
 
TQ = R√(2aR+a²)/(R+a) .
 
Deci lungimea cercului orizontului este 
 
L(cerc) = 2•π•TQ=2•π•R•√(2aR+a²)/(R+a) .  

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan