Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 14 Septembrie, 2013

PROBLEMA 3

Suport teoretic:

Functii derivabile,functii trigonometrice,identitati trigonometrice,functii concave.

Enunt:

Sa se demonstreze ca functia

f:R - > R, f(x) = 3 - 3x² - 4sinx - 4cosx,

este concava pe R.

Demonstratie:

Aratam ca f"(x) < 0, pentru orice x real. Avem, succesiv:

f'(x) = -6x - 4cosx + 4sinx, f"(x) = -6 + 4(sinx + cosx). (1)

Rezulta egalitatile succesive:

sinx + cosx = sinx + sin(π/2 - x) = 2sin[(x+π/2-x)/2]·cos[(x-π/2+x)/2] = ... =

= V2cos(π/2 - x)Є[-V2;+V2],

caci

cos(π/2 - x)Є[-1;+1]; deci 4(sinx + cosx)Є[-4;+4]. (2)

Din (1) si (2) rezulta imediat ca f"Є[-10;-2] = > f"(x) < 0, pentru orice x real, prin

urmare functia f este concava pe R. 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan