Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 10 Iunie, 2017

PROBLEMA 2.8

Suport teoretic:

Triunghiuri dreptunghice,arii,sume,identitati remarcabile,ecuatii,descompuneri in factori. 

Enunt:

Fie n triunghiuri dreptunghice avand laturile de lungimi

x-k, x si x+k, unde x > 0 si k Є {1, 2, 3, ... , n} .

Sa se afle numarul triunghiurilor, astfel incat suma ariilor acestora sa fie egala cu 30 .

Raspuns:

n = 2 .

Rezolvare:

Conform teoremei lui Pitagora, avem :

(x+k)²  = (x-k)² + x² < = > ... < = > x = 4k .

Laturile triunghiurilor au, deci, lungimile egale cu 3k, 4k si 5k, unde k Є {1, 2, 3, ... , n} . 

Conform ipotezei, avem:

\sum_{k=1}^n{\frac{{3k}\cdot{4k}}{2}}=30\sum_{k=1}^n{\frac{{3k}\cdot{4k}}{2}}=30 \Leftrightarrow\Leftrightarrow \sum_{k=1}^n{6k^2}=30\sum_{k=1}^n{6k^2}=30 \Leftrightarrow\Leftrightarrow \cdots\cdots \Leftrightarrow\Leftrightarrow 2n^3+3n^2+n-30=0\;\cdot2n^3+3n^2+n-30=0\;\cdot

Folosind descompunerea in factori  ce rezulta din 

(2n^3-16)+(3n^2-12)+(n-2)=0\;,(2n^3-16)+(3n^2-12)+(n-2)=0\;,

sau verificand divizorii termenului liber 30, se gaseste, cu usurinta, n = 2 .

Observatie:

Pentru n = 1 se obtine singurul triunghi dreptunghic ale carui laturi au ca lungimi

numere naturale consecutive : 3, 4 si 5 .

Acest triunghi era folosit de vechii egipteni pentru a confectiona, in scopuri practice,

unghiul drept . 


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan