Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 20 Decembrie, 2015

PROBLEMA 2.6

Suport teoretic:

Tetraedrul regulat,cubul,arii,volume,calcule cu radicali.

Enunt:

Stiind  ca un tetraedru regulat si un cub au acelasi volum, sa se calculeze raportul r

al lungimilor muchiilor acestora.

Raspuns: 

r=\frac{x}{y}=\sqrt[6]{72}\;\cdotr=\frac{x}{y}=\sqrt[6]{72}\;\cdot   

Rezolvare:

 

In triunghiul dreptunghic AMC (MA =x/2) se aplica teorema lui Pitagora

si se obtine usor CM = (x√3)/2 = DM. (1)

Pe de alta parte, cum O este cetrul de greutate al triunghiului echilateral ABC, rezulta ca

OM = (1/3) din CM = (x√3)/6. (2)

Tinand cont de (1) si (2), din triunghiul dreptunghic DOM (unghiul drept este O),

un calcul simplu permite sa aflam inaltimea tetraedrului, anume DO =( x√6)/3. (3)

Rezultatele (1), (2) si (3) ne permit aflarea volumului tetraedrului:  

Aria[ABC] = AB·CM/2 = ... = (x²√3)/4, deci

Volumul[ABCD] = Aria[ABC]·DO/3 = ... = (x³√2)/12 = Volumul cubului = y³,

unde y este muchia cubului. Deci:

y=\sqrt[3]{vol.tetraedru}=\cdots=\frac{x}{\sqrt[6]{72}}\;\cdoty=\sqrt[3]{vol.tetraedru}=\cdots=\frac{x}{\sqrt[6]{72}}\;\cdot  

Rezulta imediat:

r=\frac{x}{y}=\sqrt[6]{72}\;\cdotr=\frac{x}{y}=\sqrt[6]{72}\;\cdot  


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan