Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE-LICEU

Data publicarii: 20 Mai, 2011

PROBLEMA-26

Suport teoretic:

Suma trigonometrica, identitati trigonometrice fundamentale, inductia matematica.

Enunt:

Sa se demonstreze ca:

$\sum_{k = 1}^{n}{\sin{kx}\cos{(k + 1)x}}=\frac{\sin{nx}\sin{(n+2)x}-n{\sin^2}{x}}{2\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.$ \sum_{k = 1}^{n}{\sin{kx}\cos{(k + 1)x}}=\frac{\sin{nx}\sin{(n+2)x}-n{\sin^2}{x}}{2\sin{x}},\forall{x}\in{\mathbb{R}}\setminus{\begin{Bmatrix}k\pi|k\in{\mathbb{Z}}\end{Bmatrix}}.

Rezolvare:

Se foloseste inductia matematica, verificand, mai intai, ca propozitia este adevarata

pentru k = 1 (va fi nevoie de identitatea: sin3x = sinx·(3 - 4sin²x); apoi, se va

demonstra implicatia P(n) = > P(n+1), oricare ar fi n € N*, folosind scrierea

$\sum_{k = 1}^{n+1}{\sin{kx}\cdot\cos{(k + 1)x}}=$ \sum_{k = 1}^{n+1}{\sin{kx}\cdot\cos{(k + 1)x}}= $\sum_{k = 1}^{n}{\sin{kx}\cdot\cos{(k + 1)x} + \sin{(n+1)x}\cdot\cos{(n+2)x}}=$ \sum_{k = 1}^{n}{\sin{kx}\cdot\cos{(k + 1)x} + \sin{(n+1)x}\cdot\cos{(n+2)x}}= $=\frac{sin{nx}\cdot\sin{(n + 2)x} - n\sin^{2}x}{2sinx}+\ sin{(n + 1)x}\cos{(n + 2)x};$ =\frac{sin{nx}\cdot\sin{(n + 2)x} - n\sin^{2}x}{2sinx}+\ sin{(n + 1)x}\cos{(n + 2)x};