Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 05 Octombrie, 2010

Suport teoretic:

Cardinalul unei multimi, modulul unui numar real, semnul functiei de gradul al doilea, inecuatii cu modul, operatii cu multimi.

Enunt:

Sa se calculeze cardinalul multimii M, unde:

M = {x real | |x² - 5x + 6| + |4 - x²| < 6 - x - x²}.

Raspuns:

Card(M) = 0.

Rezolvare:

Intrucat membrul intai al inecuatiei este nenegativ (mai mare sau egal cu zero), se

impune in mod necesar ca membrul al doilea sa fie tot nenegativ; deducem ca

x apartine intervalului [-3;2].

In aceste conditii, inecuatia devine succesiv:

(2 - x)|x - 3| + (2 - x)|x + 2| < (2 - x)(x + 3), sau:

(2 - x)(|x - 3| + |x + 2|- x - 3) < 0.

Cum x = 2 nu convine si 2 - x > 0, deducem ca:

|x - 3| + |x + 2| - x - 3 < 0, sau:

(- x + 3) + |x + 2| - x - 3 < 0, sau:

|x + 2| < 2x.

Cum |x + 2| este numar nenegativ, singura posibilitate ca ultima inecuatie sa aiba

solutii este ca x > 0. Prin urmare, se obtine:

x + 2 < 2x si de aici: x > 2, imposibil.

Concluzie: Card(M) = 0.

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.