Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE-LICEU

Data publicarii: 18 Iunie, 2010

PROBLEMA-22

Suport teoretic:

Numar prim, clase de resturi modulo n, congruente modulo n, "mica teorema a lui Fermat".

Enunt:

Sa se demonstreze ca:

${\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.$ {\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}\in{\mathbb{N}}.

Rezolvare:

Numaratorul fractiei ne aminteste, inevitabil, "mica teorema a lui Fermat", anume:

Daca a este numar intreg, p numar natural prim, iar a nu este divizibil cu p, atunci:

${{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}}$ {{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\exists{k}\in{\mathbb{Z}},$ \exists{k}\in{\mathbb{Z}},

astfel incat:

$a^{p-1}={k}\cdot{p}+1.$ a^{p-1}={k}\cdot{p}+1.

Fie, deci, a = 2010 si p = 2011; se verifica usor conditiile cerute de "mica teorema a

lui Fermat", prin urmare exista k, numar intreg, astfel incat:

${\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}=\frac{{2010}^{2011-1}-1}{2011}=\frac{{k}\cdot{2011}}{2011}={k}\in{\mathbb{Z}}.$ {\frac{{2010}^{2010}-1}{2011}}=\frac{{2010}^{2011-1}-1}{2011}=\frac{{k}\cdot{2011}}{2011}={k}\in{\mathbb{Z}}.

Observatii:

1) Avand in vedere datele exercitiului, este evident ca numarul k este chiar natural.

2) ${{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}}$ {{a^{p-1}}\equiv{1(mod.p)}}

( $(a^{p-1}$ (a^{p-1} este congruent cu 1 modulo p), deci:

${\widehat{a^{p-1}}=\hat{1}}\Leftrightarrow{{\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}},\;{in}\;{\mathbb{Z}}_p.$ {\widehat{a^{p-1}}=\hat{1}}\Leftrightarrow{{\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}},\;{in}\;{\mathbb{Z}}_p.

Postat în PROBLEME DIVERSE CU REZOLVARI COMPLETE-LICEU

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

PROBLEMA-22

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului