Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 06 Noiembrie, 2014

PROBLEMA 11

Suport teoretic:

Teorema medianei,sisteme liniare,regula lui Cramer,teorema cosinusului.

Enunt:

Sa se afle masura unghiului cu varful in B din triunghiul ABC, avand medianele 

m_a=2\sqrt{13}cm,\;m_b=5cm\;si\;m_c=\sqrt{73}cm.m_a=2\sqrt{13}cm,\;m_b=5cm\;si\;m_c=\sqrt{73}cm.

Raspuns:

mas(B) = arccos(1/70).

Rezolvare:

Folosind teorema medianei, se obtine sistemul liniar:

\begin{cases}\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}=52\\\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}=25\\\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}=73\end{cases}\begin{cases}\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}=52\\\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}=25\\\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}=73\end{cases} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \begin{cases}-a^2+2b^2+2c^2=208\\2a^2-b^2+2c^2=100\\2a^2+2b^2-c^2=292\end{cases}.\begin{cases}-a^2+2b^2+2c^2=208\\2a^2-b^2+2c^2=100\\2a^2+2b^2-c^2=292\end{cases}.

Se calculeaza determinantul sistemului si determinantii asociati necunoscutelor 

a², b² si c², anume Δ = 27, Δa = 300, Δb = 876 si Δc = 588, dupa care, cu ajutorul

regulii lui Cramerse gaseste solutia:

a=\frac{10}{3},\;b={\frac{2}{3}}\cdot{\sqrt{73}},\;c=\frac{14}{3}.a=\frac{10}{3},\;b={\frac{2}{3}}\cdot{\sqrt{73}},\;c=\frac{14}{3}.

Utilizand, apoi, teorema cosinusului, obtinem:

cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cdots=\frac{1}{70},cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\cdots=\frac{1}{70},

si, de aici: mas(B) = arccos(1/70).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan