Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 01 Noiembrie, 2014

PROBLEMA 10

Suport teoretic:

Teorema cosinusului,functia arccosinus.

Enunt:

Fie triunghiul ABC, in care mas(A) = 75°, AB = a si AC = 2a. Se cere:

a) Sa se arate ca AB < BC < CA.

b) Sa se demonstreze cu ajutorul acestui triunghi ca:

{arccos}{\frac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}}}+{arccos}{\frac{8-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}}}=\frac{7\pi}{12}.{arccos}{\frac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}}}+{arccos}{\frac{8-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}}}=\frac{7\pi}{12}.

Rezolvare:

a) Aplicand teorema cosinusului, obtinem

{BC}^2=\cdots={a^2}(5-\sqrt{6}+\sqrt{2}),{BC}^2=\cdots={a^2}(5-\sqrt{6}+\sqrt{2}),

si, de aici:

{AB}<{BC}{AB}<{BC} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {{AB}^2}<{{BC}^2}{{AB}^2}<{{BC}^2} \Leftrightarrow\Leftrightarrow {a^2}<{a^2}(5-\sqrt{6}+\sqrt{2}){a^2}<{a^2}(5-\sqrt{6}+\sqrt{2}) \Leftrightarrow\Leftrightarrow \cdots\cdots \Leftrightarrow\Leftrightarrow {4}>{\sqrt{6}-\sqrt{2}},{4}>{\sqrt{6}-\sqrt{2}},

evident adevarat. (1)

Apoi, in mod analog, inegalitatea BC < CA devine 

{{a^2}(5-\sqrt{6}+\sqrt{2})}<{4a^2}{{a^2}(5-\sqrt{6}+\sqrt{2})}<{4a^2} \Leftrightarrow\Leftrightarrow \cdots\cdots \Leftrightarrow\Leftrightarrow {1}<{\sqrt{6}-\sqrt{2}},{1}<{\sqrt{6}-\sqrt{2}},

evident adevarat. (2)

Din (1) si (2) rezulta a).

b) Tot din teorema cosinusului obtinem:

{cosB}=\cdots=\frac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}},\;(1)\;si{cosB}=\cdots=\frac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}},\;(1)\;si

{cosC}=\cdots=\frac{8-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}}.(2){cosC}=\cdots=\frac{8-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4\sqrt{{5}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}}.(2)

Intrucat mas(B) + mas(C) = 180° - 75° = 105°, adica

mas(B) + mas(C) = 7π/12. (3)

Din (1), (2) si (3) rezulta b).


Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan