Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 08 Septembrie, 2013

PROBLEMA 1

Suport teoretic:

Functii polinomiale,puncte critice,progresii aritmetice,relatiile lui Viete,radacini multiple.

Enunt:

Sa se aflea,b,cЄR, stiind ca functia f:R - > R,

f(x)=x^4+ax^3-2x^2+bx+c,f(x)=x^4+ax^3-2x^2+bx+c,

admite 3 puncte critice in progresie aritmetica avand suma egala cu 3, iar polinomul

f=X^4+aX^3-2X^2+bX+cf=X^4+aX^3-2X^2+bX+c

are o radacina dubla.

Raspuns:

a = -4, b = 12. cЄ{-7;9}.

Rezolvare:

Notez punctele critice astfel: m-r, m, m+r

(termeni aflati in progresie aritmetica, cu ratia r); din ipoteza rezulta ca

(m-r)+m+(m+r) = 3 < = > 3m = 3 < = > m = 1.

Deci punctele critice sunt 1-r, 1, 1+r si reprezinta radacinile ecuatiei

f'(x)=0 < = > 4x³+3ax²-4x+b=0.

Folosind relatiile lui Viète, se obtin egalitatile

S1 = (-3a)/4= (1-r) + 1 + (1+r) = 3 < = > ... < = > a = -4; (1)

S2 = (-4)/4 = (1-r)1 + 1(1+r) + (1-r)(1+r) = 3 - r² < = > r² = 4 < = > r = ±2; (2)

S3 = -b/4 = 1 - r² < = > -b/4 = 1 - 4 < = >  -b/4 = -3 < => b = 12. (3)

Evident, punctele critice sunt numerele -1, 1, 3 si, deci, fiecare dintre acestea poate fi

radacina dubla.

Folosind teoria privind radacinile multiple, avem:

f(-1) = f'(-1) = 0 si f"(-1)ЄR*, sau

f(1) = f'(1) = 0 si f"(1)ЄR*, sau

f(3) = f'(3) = 0 si f"(3)ЄR*.

Fie, conform egalitatilor (1) si (3):

f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x+c,f(x)=x^4-4x^3-2x^2+12x+c,

f'(x)=4x³-12x²-4x+12,

f"(x)=12x²-24x-4.

Din cele de mai sus, se gaseste, cu usurinta: c = -7, sau c = 9.

Postat în: PUNCTE CRITICE-liceu

Adăugaţi un comentariu

Adăugaţi un comentariu
Introdu codul din imagine

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan