Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Ca toate operaţiile inverse, operaţia de primitivare, inversă a derivării,

crează un oarecare disconfort cel puţin în faza de abordare iniţială

a acesteia.

E necesară (dar nu şi suficentă !) cunoaşterea cu exactitate a tuturor

aspectelor teoretice şi a formulelor şi tehnicilor de calcul al primitivelor

de funcţii (atunci când acestea există !), prezentate mai jos:

TEORIE

Data publicarii: 02.04.2011

Definitie:

O functie f, definita pe intervalul I si cu valori in R, este primitivabila pe I,

daca există o functie F definita pe I si cu valori in R, derivabilă pe I şi F'(x) = f(x),

oricare ar fi xЄI; funcţia F se numeşte o primitivă a funcţiei f şi, evident, în acest caz,

există o  infinitate de primitive ale funcţiei f, mulţime care se numeşte

integrala nedefinită a funcţiei f; notatie: 

\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}.\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}.

Daca functia f:I - > R admite o primitiva F, atunci

\int{f(x)}{dx}=F+\mathcal{C},\int{f(x)}{dx}=F+\mathcal{C},

unde C = {f|f:I - > R, f(x) = cЄR, xЄI}, este

mulţimea tuturor funcţiilor constante definite pe I.

Primitive uzuale:

1)\;\int{x}^{n}{dx} =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}}1)\;\int{x}^{n}{dx} =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}} \Rightarrow \int{1}\cdot{dx} = x +\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}}.\Rightarrow \int{1}\cdot{dx} = x +\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}}.

2)\;\int{x}^{\alpha}{dx} = \frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C}2)\;\int{x}^{\alpha}{dx} = \frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C} , {x}\in{I\subset(o,\infty)},\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.{x}\in{I\subset(o,\infty)},\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.

3)\;\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C}3)\;\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C} , {x}\in{I\subset(0,\infty)},{ou}\,{x}\in{I\subset(-\infty,0)}.{x}\in{I\subset(0,\infty)},{ou}\,{x}\in{I\subset(-\infty,0)}.

4)\; \int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C},4)\; \int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}},{a>0},a\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}}.{x}\in{\mathbb{R}},{a>0},a\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}}.

CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 18

Data publicarii: 05.08.2016

Suport teoretic:

Integrale nedefinite,primitive,integrarea prin parti .

Enunt:

Sa se calculeze primitivele functiei f:(1,oo) - > R, definita prin legea :

f(x)=\frac{x^2}{(x^2-1)^2}\;.f(x)=\frac{x^2}{(x^2-1)^2}\;.

Raspuns:

F(x)=(-\frac{1}{2})\cdot(\frac{x}{x^2-1}-{\frac{1}{2}}\cdot{ln{\frac{x-1}{x+1}})}+\mathcal{C}\;.F(x)=(-\frac{1}{2})\cdot(\frac{x}{x^2-1}-{\frac{1}{2}}\cdot{ln{\frac{x-1}{x+1}})}+\mathcal{C}\;.   

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 18

EXERCITIUL 17

Data publicarii: 04.11.2015

Suport teoretic:

Primitive,integrare prin parti,derivate. 

Enunt:

Sa se calculeze: 

I=\int{xsin^2x}dx.I=\int{xsin^2x}dx.  

Raspuns: 

I=\frac{x^2}{2}sin^2x+\frac{1}{4}x^2cos2x-\frac{1}{4}xsin2x-\frac{1}{8}cos2x+\mathcal{C}.I=\frac{x^2}{2}sin^2x+\frac{1}{4}x^2cos2x-\frac{1}{4}xsin2x-\frac{1}{8}cos2x+\mathcal{C}.  

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 17

EXERCITIUL 16

Data publicarii: 04.11.2014

Suport teoretic:

Calcul de primitive,functii continue,identitati trigonometrice,integrare prin parţi.

Enunt:

Sa se calculeze multimea primitivelor functiei

f:R - > R, f(x) = x³sin²x.

Raspuns:

\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}=\int{x^3}{{sin}^2}{xdx}= {\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.{\frac{1}{16}}(2{x^4}-4{x^3}{sin2x}-6{x^2}{cos2x}+{6x}{sin2x}+3{cos2x})+\mathcal{C}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 16

EXERCITIUL 15

Data publicarii: 03.11.2014

Suport teoretic:

Calcul de primitive.

Enunt:

Fie functia

f:(-2;2) - > R, f(x) = (x²+x+1)/(x³-x²-x-2).

Sa se rezolve inecuatia

F(x) > ln(4-x²),

unde F este acea primitiva a functiei f, avand proprietatea F(1/e) = n(2e-1).

Raspuns: 

x
Є(-2;e-2).

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 15

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan