Efectueaza o cautare in website!

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Noţiune fundamentală în conţinutul algebrei liniare şi a structurilor

algebrice, operaţiile cu permutări sunt frecvent întâlnite în exerciţii

(cu grad sporit de dificultate) la diferite concursuri şi examene.

TEORIE

Data publicarii: 02.11.2010

Permutari. Definitii si proprietati:

Numim permutare de gradul n orice functie f bijectiva, definita pe A si cu valori in A,

unde A = {1, 2, 3, ..., n} si nЄN*

Multimea tuturor permutarilor de gradul n (numite si substitutii de gradul n)

se noteaza Sn si, evident, cardinalul acestei multimi este egal cu n!

O permutare oarecare σ se reprezinta sugestiv sub forma tabloului:

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}.

Compunerea permutarilor:

Fiind date permutarile

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix},\;\sigma=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix},\; \;\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix},\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\tau(1)&\tau(2)&\cdots&\tau(n)\end{pmatrix},

produsul (compunerea) lor este definit prin

(στ)(k) = (σ ο τ)(k) = σ(τ(k)), k = 1, 2, ..., n 

si rezultatul este o noua permutare, care se noteaza στ sau σ ο τ si anume:

CONTINUARE LA : TEORIE

EXERCITIUL 6

Data publicarii: 24.10.2014

Suport teoretic:

Permutari,substitutii,compunerea permutarilor,transpozitii,permutarea identica,

compunerea functiilor.

Enunt:

Sa se scrie sub forma de produs de transpozitii urmatoarea substitutie:

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&2&1&4\end{pmatrix}.\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&2&1&4\end{pmatrix}.

Raspuns:

\sigma=(34)\circ(23)\circ(14).\sigma=(34)\circ(23)\circ(14).  

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 6

EXERCITIUL 5

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Calcule permutari,semn permutare.

Enunt:

Sa se rezolve ecuatia:

x^{n^2+n+2}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix},x^{n^2+n+2}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix},

unde xЄS5 si nЄN.

Raspuns:

x
ЄΦ.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 5

EXERCITIUL 4

Data publicarii: 14.10.2014

Suport teoretic:

Compunere permutari,numar inversiuni,semn permutare.

Enunt:

Se dau permutarile

\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&5&3&1&4&6\end{pmatrix}\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&5&3&1&4&6\end{pmatrix}

si

\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\a&b&c&d&e&f\end{pmatrix}\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\a&b&c&d&e&f\end{pmatrix} .

Sa se afle semnul permutarii τ, astfel incat:

{\tau}{\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&(b-c)&(e-d)&2&(c+f)&(e-a)\end{pmatrix}.{\tau}{\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&(b-c)&(e-d)&2&(c+f)&(e-a)\end{pmatrix}.

Raspuns:

\epsilon(\tau)=-1.\epsilon(\tau)=-1.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 4

EXERCITIUL 3

Data publicarii: 21.10.2011

Suport teoretic:

Compunerea permutarilor,permutarea inversa,ecuatii.

Enunt:

Sa se arate ca urmatoarea ecuatie, definita pe multimea permutarilor de gradul 4, are

solutie unica:

{\sigma}\circ{x}=\tau,{\sigma}\circ{x}=\tau,

unde

\sigma={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&a&1&b\end{pmatrix}}\;si\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&3&b&1\end{pmatrix}.\sigma={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&a&1&b\end{pmatrix}}\;si\;\tau=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\a&3&b&1\end{pmatrix}.

Raspuns:

x=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}.x=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}.

CONTINUARE LA : EXERCITIUL 3

 

CATEGORII :


Arhiva blog-ului

 

 
Developed by Hagau Ioan